设 为二元随机变量，其联合密度函数为 （对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 的分布推导方法。下面推导过程都假设 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简：

一、线性变换：

方法1：变量替换（雅可比变换法）

选择变换

则反解得

计算雅可比行列式：

于是， 的边缘密度为

类似地，如果 也可以选择 得到

方法2：累积分布函数法

首先给出 的累积分布函数（CDF）表达式

为便于求导，我们固定 后，将不等式转换为关于 的不等式。
假设 ，则不等式

因此，累积分布函数可以写为

对内层积分关于 求导，对于固定 ，令

注意到积分上限 随 变化，根据广义莱布尼兹公式，

对整体积分关于 求导，由于

可将微分运算与积分互换（在适当的正则条件下，即 足够光滑、积分绝对收敛），得：

因此， 的概率密度函数（PDF）为：

二、极值变换： 与

1、

方法1：累积分布函数法

显然有

对 求导（注意积分上限依赖于 ）可得

方法2：极值概率的分部求导

另一思路是在考虑两个变量中“哪个先达到 ”的问题，即对 或 边界的贡献讨论：

在连续变量的意义下，上式通过积分变为前面给出的表达式。

2、

方法1：CDF法

注意到

因此，

对 求导利用莱布尼兹公式，

3. 乘积变换：

由于乘积变换非线性，常采用变换法讨论连续与离散情况。

(a) 均连续情况

选择变换

则反变换为

计算雅可比行列式：

于是，新联合密度为

进而 的边缘密度为

(b) 离散， 连续情况

设 的取值为 ，概率为 ，而 的密度为 。

对于固定 ，有

其中需要根据信号 的正负适当调整不等式方向。

总体上，

对 求导则得到 的混合型密度：