在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。

一、连续型随机变量的卷积

设 和 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 和 。那么随机变量 的概率密度函数 为：

该公式称为卷积公式。其中对 的积分表示所有可能的 与 的组合，使得 。

二、离散型随机变量的卷积

设 和 为离散型随机变量，其概率质量函数分别为 和 。随机变量 的概率质量函数 可表示为：

这里的求和涵盖了所有可能的取值 ，满足 且 的组合是 的所有可能情形。

三、卷积公式的推导

1、连续型情况

由两个随机变量独立性以及全概率公式可知， 的累积分布函数为

对 求导（在满足相关可微条件下）得到密度函数：

2、离散型情况

利用独立性以及全概率公式，我们有

四、卷积公式的性质

• 交换性：
  卷积运算具有交换性，即
• 结合性：
  对于多个独立随机变量的和，可以任意分组进行卷积计算。
• 单位元：
  在连续型情形下，Dirac 函数 充当卷积的单位元，即 。

五、总结

卷积公式在概率论中起着重要作用：

• 连续型随机变量：通过卷积积分 得到和变量的概率密度函数。
• 离散型随机变量：通过离散求和 得到和变量的概率质量函数。

这些公式不仅在求解和变量分布时极为有用，同时也是中央极限定理等重要理论的基础。