在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 ，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。

一、定义与基本公式

1、圆邻域（开圆盘）

圆邻域使用欧几里得距离，也称为 范数。对于给定半径 ，点 的开圆邻域定义为

用平方来表示，可以写作

这种定义下的邻域是一个以 为中心、半径为 的开圆盘。

2、方邻域（开方形）

方邻域通常利用无穷范数（或称为切比雪夫距离）来定义。对于给定 ，点 的开方邻域可定义为

这实际上描述了一个以 为中心、边长为 的正方形区域。

二、邻域间的包含关系及不等式证明

在二维空间中，可以定义两种常用的向量范数：欧几里得范数和无穷范数。设对于向量 有

它们之间满足以下不等式：

考虑邻域中心的平移，即设 ，我们有

• 如果 ，则必有 换句话说，任何在圆邻域 内的点必定满足 和 ，即
• 另一方面，如果 ，即 且 ，则有 即点 必定落在半径为 的圆邻域内，从而

因此，我们得到了如下包含关系：

这表明虽然两种邻域在拓扑意义上是等价（都可以作为生成拓扑的基），但在度量具体估计上存在尺度上的不同。

三、在函数极限与连续性证明中的应用

在讨论二元函数 在点 处的极限或连续性时，我们常使用 – 定义：

这里用的是 圆邻域 的定义，因为条件自然转化为欧几里得距离小于 .

有时，为了简化估计，我们也可能使用 方邻域 定义：

虽然这种证明方式与使用圆邻域在逻辑上是等价的，但在选取 时需要注意前述两者之间的包含关系。比如，在证明极限存在时，如果你能证明在开方邻域内 ，那么由于

你同样能保证在圆邻域内成立；反之亦然，在选取 时可能需要引入 的因子进行调整.

四、总结

• 圆邻域 由公式

  给出，是以欧几里得距离为基础的“圆形”区域.

• 方邻域 由公式

  给出，是以无穷范数为基础的“正方形”区域.

• 利用范数之间的不等式

  我们可以证明两种邻域存在如下包含关系：

在实际应用中（例如在证明极限存在或讨论连续性时），选择哪一种邻域主要取决于证明的便利性及后续估计的需要。两者在拓扑意义上是等价的，但在具体估计常数时，如 和 的问题需要特别注意.

以上推导和公式详细展现了二元函数中圆邻域与方邻域的定义、公式推导以及二者之间的区别和联系.