一、林德伯格-莱维中心极限定理 (Lindeberg-Lévy CLT)

1、定理内容

设是独立同分布的随机变量序列，且满足：

1. 期望存在：
2. 方差存在： ()

则对于部分和，有标准化随机变量：

当时，依分布收敛于标准正态分布：

即对于任意实数：

2、意义说明

1. 普遍适用性：无论原始分布是什么形态（离散/连续，对称/偏态），只要满足i.i.d.和有限方差条件，标准化样本均值的分布都会收敛到正态分布。

2. 样本量要求：实际应用中，通常被认为足以获得较好的近似效果，但对于高度偏态分布可能需要更大的。

3. 统计推断基础：为许多统计方法（如置信区间、假设检验）提供了理论依据，特别是当总体分布未知时。

4. 误差解释：解释了为什么测量误差常呈正态分布（许多微小独立误差的叠加）。

二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace CLT)

1、定理内容

设为独立伯努利随机变量序列，，其中。记为成功次数，则：

当时，依分布收敛于标准正态分布：

特别地，对于任意：

2、意义说明

1. 二项分布近似：这是历史上最早的中心极限定理形式（1733年），提供了用正态分布近似二项分布的理论依据。

2. 实用准则：当且时，近似效果较好。当接近0.5时，近似所需更小。

3. 离散修正：由于从离散分布近似连续分布，实际应用中常使用连续性修正：

4. 分类数据分析：为比例检验、卡方检验等分类数据分析方法奠定了基础。