一、误差公式

误差公式描述了函数 与其傅里叶级数 阶三角级数部分和 之间的逼近误差能量。具体公式为：

以下是误差公式的详细推导过程：

步骤 1：定义误差函数

设 为傅里叶级数的 阶部分和：

定义误差函数：

步骤 2：展开误差的平方积分

计算误差的平方在区间 上的积分：

展开平方项：

步骤 3：计算交叉项

将 代入交叉项：

分项积分：

根据傅里叶系数的定义：

代入后得到：

步骤 4：计算

利用三角函数的正交性：

对 同理。展开 ：

由于正交性，交叉项的积分为零。因此：

步骤 5：代入误差公式

将步骤 3 和步骤 4 的结果代入步骤 2：

化简后：

步骤 6：物理意义与推论

• Bessel 不等式：由于 ，可得：

  说明傅里叶系数的平方和不超过函数的能量。

• Parseval 等式：当 且傅里叶级数收敛（如 连续可微），则 ，得：

  表明函数的总能量等于其所有傅里叶分量的能量之和。

二、Bessel 不等式和 Parseval 等式的推导

Bessel 不等式和 Parseval 等式是傅里叶分析中的重要结果，它们描述了函数与其傅里叶级数之间的关系。以下是详细的推导过程。

1. 准备工作

设 是一个周期为 的函数，且 在区间 上平方可积，即：

其傅里叶级数为：

其中，傅里叶系数为：

2. Bessel 不等式的推导

Bessel 不等式描述了傅里叶系数的平方和与函数能量之间的关系。

步骤 1：定义部分和

考虑傅里叶级数的部分和：

步骤 2：计算误差的平方

定义误差函数：

计算误差的平方积分：

步骤 3：展开误差的平方

将误差的平方展开：

步骤 4：计算交叉项

利用傅里叶系数的定义，计算交叉项：

由于正交性，只有对应的傅里叶系数项非零，因此：

步骤 5：计算 的平方积分

利用正交性，计算 的平方积分：

步骤 6：代入误差公式

将上述结果代入误差公式：

步骤 7：Bessel 不等式

由于误差的平方积分非负，因此：

令 ，得到 Bessel 不等式：

3. Parseval 等式的推导

Parseval 等式是 Bessel 不等式的特殊情况，当傅里叶级数收敛到 时成立。

条件

如果傅里叶级数一致收敛到 ，即：

代入误差公式

根据误差公式：

当 时，左边趋于 ，因此：

这就是 Parseval 等式。

4. 总结

• Bessel 不等式：
• Parseval 等式（当傅里叶级数收敛时）：

这两个结果在傅里叶分析中具有重要意义，分别描述了傅里叶系数的能量关系和函数的能量守恒。