伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系，其数学形式为

其中

• 为流体压强
• 为流体密度
• 为流体速度
• 为高度（或任意参考坐标系中的位移）
• 为重力加速度

下面给出两种推导方法。

方法一：基于欧拉方程的推导

对于无粘、不可压的理想流体，欧拉方程写为

其中 为物质导数， 为重力加速度向量。对于稳态流动（即各物理量对时间不显含显式变化），沿流线积分可进行如下处理：

1. 沿流线方向考虑变化

   对任意沿流线的微小位移 ，考虑点乘 后有

   其中 是沿流线的微小弧长。利用流动的无旋性或沿流线分析，可以证明

2. 将重力势能引入

   重力场满足 ，并定义重力势能 。代入上式得

3. 整理并积分

   将上式除以 并整理可得

   这意味着沿流线上，上述三个量的和为常数，即

方法二：基于能量守恒的推导

考虑沿流线的一个流体微团，从能量守恒的角度出发，可以证明流体所受的功转换为动能和重力势能的变化。

1. 对流体微团的功

   考虑一个在微小位移 内的流体微团，其受到压力的作用做功

   其中 为压强的微小变化，负号表示由高压区向低压区运动所做的正功。

2. 重力势能的变化

   由重力势能的变化，有

   其中 为垂直高度的微小变化，负号同样对应于重力做功的方向。

3. 动能的变化

   流体的动能变化为

4. 能量守恒关系

   对于稳态流动，外力对流体微团所做的总功必然等于动能和势能的变化，总能量守恒有

   将上述等式整理，可得

   积分后便得到伯努利方程

以上两种方法均表明，在无粘、不可压、稳态流动中，沿流线都有

这就是伯努利方程的通解形式。