一、级数定义与其收敛发散性

1、定义：级数、部分数列和

给定数列 ，将其每一项依次用“+”号连接起来的表达式：

称为无穷级数。由于其通项 都是常数，也称之为常数项级数，记作 。

在级数 中，前 项的和：，称为该级数的部分和。所得的数列 称为部分和数列。

级数 的通项 与其部分和数列 之间有如下关系

2、定义：级数的收敛与发散

若级数的部分和数列 收敛于 (即 )，则称级数 收敛，此时称部分和数列 的极限 为级数 的和。

记作

若级数的部分和数列 发散，则称级数 发散。

3、定理：级数收敛的必要条件

级数 收敛，则：。

4、定理：级数的柯西收敛准则

级数 收敛的充要条件是对 . 当 时，对 均有

5、定理：收敛级数的性质

1. 若级数 均收敛，则：对任意 也收敛，且
2. 去掉、添加或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性。
3. 收敛级数任意添加括号后所得级数仍然收敛，且其和不变。
4. 正项级数 收敛的充分必要条件为部分和数列 有界。即，存在正数 ，对 都有

二、正项级数

1、定理：比较判别法

对正项级数 、，如果存在自然数 ，当 时，有 ，则

1. 若级数 收敛，则级数 也收敛；
2. 若级数 发散，则级数 必发散。

2、定理：极限判别法

对于正项级数 ，若 ，则

1. 当 时，级数 有相同的敛散性；
2. 当 时，若 收敛，则 收敛；
3. 当 时，若 收敛，则 收敛。

3、定理：达朗贝尔比值判别法

1. 非极限形式：

设 是一个正项级数，如果存在一个正整数 和一个常数 ，使得对于所有 ，有

则级数 收敛。

如果对于所有 ，有

则级数 发散。

2. 极限形式：

设 是正项级数，且 。则

1. 当 时，级数 收敛；
2. 当 或 时，级数 发散。

4、定理：柯西根值判别法

1. 非极限形式：

设 是一个正项级数，如果存在一个正整数 和一个常数 ，使得对于所有 ，有

则级数 收敛。

如果对于所有 ，有

则级数 发散。 2. 极限形式：

设 是正项级数，且： 则：

1. 当 时，级数 收敛；
2. 当 或 时，级数 发散。

5、定理：柯西积分判别法

设函数 在 上连续，恒正且单调递减，则级数 与广义积分 有相同的敛散性。

6、推论：比较判别法扩展

设和是正项级数，存在：

那么：

1. 如果收敛，有收敛。
2. 如果发散，有发散。

7、定理：拉贝判别法

对于正项级数 ，如果存在极限

则：

1. 如果 ，级数收敛；
2. 如果 ，级数发散；
3. 如果 ，判别法失效。

8、定理：高斯判别法

对于正项级数 ，如果存在常数 和 使得

则：

1. 如果 ，级数收敛；

2. 如果 ，级数发散。

三、交错级数

1、定义：交错级数

若 ()，则称 为交错级数（或交叉级数）。具体为

2、定理：莱布尼茨判别法

若交错级数 () 满足

1. 数列 单调递减，即 ()

则交错级数 收敛，且其和

四、条件收敛与绝对收敛

1、定义：绝对收敛与条件收敛

若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；若级数 收敛，而 发散，则称级数 条件收敛。

2、定理：条件收敛的性质

如果级数 绝对收敛，则级数 必收敛。

五、幂级数

1、定义：幂级数

由幂函数数列 （ 为实常数）构成的项级数

称作以 为中心的幂级数。

2、定义：收敛点、发散点、收敛域、发散域

如果级数 在某一点 处收敛，则称 为该级数的收敛点；如果级数 在某一点 处发散，则称 为该级数的发散点。

级数 的所有收敛点构成的集合称为该级数的收敛域；级数 的所有发散点构成的集合称为该级数的发散域。

3、定理：阿贝尔定理

若幂级数 在 处收敛，则对满足不等式 的所有 都收敛且绝对收敛。

若幂级数 在 处发散，则对满足不等式 的所有 都发散。

4、推论：收敛半径与收敛区间

如果幂级数 不在整个实数轴上收敛，也不是仅在 处收敛，则存在正数 使得

1. 当 时，幂级数 绝对收敛；

2. 当 时，幂级数 发散。

3. 当 或 时，幂级数可能收敛也可能发散。

上面推论中的正数 称为幂级数 的收敛半径。开区间 称为幂级数 的收敛区间。再由幂级数 在 处的收敛情况可确定其收敛域：，，，。

如果幂级数仅在 处收敛，其收敛半径 ；如果幂级数在整个实数轴上都收敛，则其收敛半径 ，收敛域为 。