线性代数基本定义定理 - 老官童鞋gogo的博客

一、线性空间

1、定义：线性空间

设是一个非空集合，是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们，熟知的加法。在线性空间的定义中，我们要求构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：

（加法结合律）,
（加法单位元）使得有
（逆元），，有，记
（交换律），

第二种运算和之前学习的其他代数结构不同，我们需要首先引人一个数域,接下来在上定义取值于的数乘运算，即中的每个元素, 并且数乘运算满足以下性质：, 以及上的乘法单位元 1,有

（数乘单位元）
（数乘结合律）
（左分配律）
（右分配律）

2、定义：同构

设和是数域上的线性空间，若映射满足：

则称是从到的一个同态，若是双射，则称是从到的一个同构，若是从到的一个同构，则称线性空间和是同构的，记为。

3、定义：线性子空间

设是线性空间的非空子集，如果对中的运算也构成域上的线性空间，则称是的线性子空间（简称子空间）。

4、定理：子空间判定的充要条件

数域上的线性空间的非空子集为的子空间的充分必要条件是对于的线性运算封闭。

5、定义：线性表示与线性扩张

设是一个线性空间，, ，则向量称为向量组在域的线性组合，或说在域上可用向量组线性表示。

5、定义：线性扩张

设是线性空间的非空子集，我们称：

或：

为的线性扩张，即中所有有限子集在域上的一切线性组合组成的的子集。

6、定理：线性扩张与线性子空间关系

线性空间的非空子集的线性扩张是中包含的最小子空间。

7、定义：线性相关与线性无关

设是一个线性空间，，若存在不全为的，使得：

成立，则称：线性相关，否则称线性无关（即系数只能为）。

8、定理：线性相关的等价表述

向量组线性相关它们有系数不全为的线性组合等于零向量。
向量组线性无关它们只有系数全为的线性组合才会等于零向量。
向量组线性相关其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
向量组线性无关其中每一个向量都不能由其余向量线性表示。

9、定理：线性相关判定的充要条件

线性空间中的向量组线性相关的充分必要条件是中有一个向量可由其余向量在域上线性表示。

10、定理：线性表示唯一性

若向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。

11、定义：极大线性无关组和秩

设向量组张成的线性空间为,若存在的一个线性无关向量组,使得，则称为的一个极大线性无关组，并称极大线性无关组的长度为的秩。

12、定理：秩与线性相关的关系

设中向量组的每个向量可由另一向量组线性表示。若，则线性相关。

13、定义：基与维数

若线性空间的有限子集线性无关，且 span，称为的一组基，并称为的维数，记作。

14、定理：基的扩充

如果是维线性空间的一个子空间，则的基可以扩充为的基。

15、定义：有限维线性空间和无限维线性空间

称为有限维线性空间，如果中存在一个有限子集使得，反之称为无限维线性空间。

16、定理：初等行变换不改变列的线性相关性

如标题。

17、定义：向量的坐标

设是维线性空间的一组基，如果中元素表示为，则其系数组称为在基下的坐标，记为。

18、定理：替换定理

设线性无关，且可以被线性表示，则可以将中的个向量替换成后得到与等价的新向量组。

二、线性空间的运算

1、定义：线性空间的交、并、和

设是线性空间的两个子空间，则：

且 或

分别称为和的交、并、和。

2、定理：线性空间和、交、并的性质

设是线性空间的两个子空间，则

是的子空间；
是的子空间；
为的子空间或。

3、定理：覆盖定理

设是数域上线性空间的个非平凡子空间，中至少存在一个向量不属于中的任何一个，即。

4、定理：维数公式

设是线性空间的两个子空间，则。

5、定义：线性空间的直和、补空间

设是线性空间的两个子空间。若，则叫做与的直和，记作。进一步地，若，则称为互补子空间，或是的补空间，或是的补空间。

6、定理：直和的性质

对于子空间,下列命题等价：

是直和 ,即
中的每个向量的分解式 , 唯一。
零向量的分解式 , 仅当时成立。

三、线性映射

1、定义：线性映射

从线性空间到的一个映射是线性的，如果和都有：

从线性空间到自身的线性映射也叫作上的线性变换，在有的教材中也称为算子。从线性空间到域的线性映射叫作上的线性泛函（或称线性函数，线性形式）。为方便称呼，我们称对于到的线性映射是其出发空间，是其到达空间，也可简记为。

2、定理：零向量的线性映射

设是线性空间到的线性映射，则。

3、定理：线性相关的传递

设是线性空间到的线性映射，如果中向量线性相关，则也线性相关。反之，若线性无关，则必线性无关。

4、定义：线性映射的基本运算

设，规定与之和及与的数乘分别为

以及线性映射的复合运算：

5、定理：线性映射构成线性空间

与上述定义的线性映射加法和数乘构成域上的线性空间。是线性映射，逆映射为线性映射。

6、定义：线性映射的像与核

设是线性空间到的线性映射。的所有元素在下的像组成的集合：

称为的像（或值域），记作，或记作 $。$ 的零元在下的完全原像：

称为的核（或零空间），记作，或记作。

7、定理：单射的判定

线性映射是单射当且仅当。

8、定理：映射的唯一性

已知线性映射，且有的基若, ，则有。
设是的基，是中任意个向量，则存在唯一的使得。

9、定义：线性映射的秩

设,如果是的有限维子空间，则的维数称为的秩记作，即。

10、定理：线性映射基本定理

设，若，则：

11、定理：线性映射基本定理推论

对且,下列条件等价：

为单射
为满射
为双射（可逆）

12、定义：线性空间的同构

如果由线性空间到存在一个线性双射，则称和是同构的，记作。称为到的一个同构映射。

13、定理：同构映射的秩不变

设是到的同构映射，是的任意一组向量， ,则，即同构映射保持映射前后向量组秩不变。

14、定理：同构的等价条件

两个线性空间和同构的充要条件是它们的维数相等。

四、矩阵

1、定义：矩阵

域中的个元素排成行列的矩形数表，称为域上的一个矩阵，记作：

或简记为,其中表示矩阵的第行第列的元素。

2、定理：线性映射的矩阵表示

任意的的线性映射都可以写成的形式，其中是一个的矩阵，并且符合要求的矩阵是唯一的。

3、定义：线性映射在基下的矩阵表示

设是的基，是的基。则线性映射被它作用于基的像：

所唯一确定，而是的子空间，于是其中元素都可以被基线性表示，即：

将关于基的坐标排列成矩阵，即：

称为在基和下的矩阵表示，有时也称线性映射在基下的表示矩阵。

4、定义：矩阵加法与数乘运算

加法：设为矩阵，则定义：
数乘：对，定义：

5、定理：线性映射与矩阵的同构

设分别是维和维线性空间，则是同构的。

6、定理：线性映射对向量坐标的影响

设关于和的基和基的矩阵为，且与在基和下的坐标分别为和，则。

7、定义：矩阵乘法

设，我们定义与的乘积矩阵是一个矩阵，其中它的第行第列元素为矩阵的第行与矩阵的第列对应位置元素相乘后求和的结果，即：

8、定理：矩阵乘法的性质

（结合律）
（左分配律）
（右分配律）

9、定义：矩阵的逆

设。若存在使得（不刻意强调时可以省略），则称矩阵可逆，并把称为的逆矩阵，记作，在一些比较经典的教材中可逆矩阵也被称为非奇异矩阵，不可逆矩阵被称为奇异矩阵

10、定理：逆矩阵的性质

可逆矩阵的逆矩阵唯一。
主对角元都是非零数的对角矩阵一定可逆，且逆矩阵就是对角线上元素取倒数（单位矩阵即为特例，其逆矩阵是其自身）；
注意没有加法性质（例如可逆，则也可逆，但不可逆）。
对于数乘有
, , 注意这里的和不一定需要非负，事实上负数就是逆矩阵的幂次或幂次的逆，如
若可逆，则消去律成立，即成立，若可逆且 (或可以推出 (令即可)。更进一步地，回忆在不可逆矩阵的情况下，即使且 ,我们也可能有，但当（或）可逆时，根据前面的结论可知 (或）必然为零矩阵，因此不可能存在这样的情况。

11、定义：矩阵的转置

设，则的转置矩阵是一个矩阵，记作，它的第行正好是的第列，它的第列正好是的第行

12、定理：矩阵转置的性质

13、定义：对称矩阵与反对称矩阵

没，如果均有，则称为对称矩阵。若均有,则称为反对称矩阵。

14、定理：对称矩阵与反对称矩阵的性质

反对称矩阵主对角元均为
和均为对称矩阵
设为阶对称和反对称矩阵，则是反对称矩阵
对称矩阵的乘积不一定对称
可逆的对称(反对称)矩阵的逆矩阵也是对称（反对称）矩阵

15、定义：分块矩阵

一般地，对于矩阵,如果在行的方向分成块，在列的方向分成块，就得到的一个分块矩阵，记作，其中称为的子块。

16、定理：分块矩阵的性质

分块矩阵的加法：设分块矩阵.如果与对应的子块和都是同型矩阵，则：
分块矩阵的数乘：设分块矩阵是一个数，则：
分块矩阵的乘法：设,如果把分别分块为和分块矩阵，且的列分块法与的行分块法相同 (注意这些条件始终保证可乘性成立），则：

其中是分块矩阵，且与一般矩阵计算类似，即为第行块的列块对应元素相乘后相加，即：, ,

分块矩阵的转置：大、小矩阵都要转置，这是分块矩阵与普通矩阵的一大性质差异；即分块矩阵转置后为分块矩阵，且。例如

五、相抵标准型

1、定义：矩阵的秩

由于是的线性映射，定义秩。我们将矩阵的所有行向量组成的秩称为的行秩，常记为。所有列向量组成的向量组的秩称为的列秩，常记为。

2、定理：矩阵秩的性质

任意矩阵的秩行秩列秩。

3、定理：线性映射类型与其对应表示矩阵关系

线性映射是单射当且仅当其矩阵表示为列满秩矩阵，线性映射是满射当且仅当其矩阵表示为行满秩矩阵。

4、定理：可逆矩阵与线性相关关系

设，则下列命题等价：

可逆
的个行（列）向量线性无关
齐次线性方程组只有零解

5、定义：过渡矩阵

设与是线性空间的任意两组基，中每个基向量被基表示为：

将上式用矩阵表示为：

我们将这一矩阵称为即变为基的变换矩阵（或过渡矩阵）

6、定理：基的选择对向量坐标的影响

设线性空间的两组基为和，且基到的变换矩阵（过渡矩阵）为，如果在和下的坐标分别为和，则。

7、定理：换基公式

设，是的两组基，是的两组基。设是变为的过渡矩阵，是变为的过渡矩阵，则

8、定理：基的选择对变换矩阵的影响

设线性变换, 和是线性空间的两组基，基变为基的过渡矩阵为。如果在基下的矩阵为，则关于基所对应的矩阵为。

9、定理及定义：相抵标准型

设是矩阵，则存在可逆矩阵和，使得：

其中表示阶单位矩阵，。这一定理也就自然给出了相抵以及相抵标准型的定义：设和是矩阵，如果存在可逆矩阵和，使得，则称和是相抵的。称中的为矩阵的相抵标准型，其中表示阶单位矩阵，。

10、定义：初等矩阵

将单位矩阵做一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，与三种初等行、列变换对应的三类初等矩阵为：

将单位矩阵第行 (或列)乘,得到初等倍乘矩阵。
将单位矩阵第行乘加到第行，或将第列乘加到第列，得到初等倍加矩阵。
将单位矩阵第行 (或列)对换，得到初等对换矩阵。

第 行

第 行 第 行

第 行 第 行

11、定理：可逆矩阵性质

任意可逆矩阵都可以被表示为若干个初等矩阵的乘积。

12、定理：两可逆矩阵初等行变换性质

设为阶可逆矩阵，如果对和阶单位矩阵做相同的初等行变换，即后变为时变为。

13、定理：初等变换性质

初等变换不改变矩阵的秩（包括行变换和列变换）。

14、定义：相抵

我们称两个矩阵相抵即两个矩阵可以通过一系列初等变换可以互相转化。

15、定义：迹

是阶方阵，的主对角线上的元素之和称为的迹，记为，即：

六、特殊矩阵

1、定义：对角矩阵

设是一个矩阵，把写成列向量与行向量的形式，分别为：

则：

2、定理：对角矩阵和分块对角矩阵的性质：

对角矩阵可逆当且仅当对角线上元素均不为，且此时逆矩阵为。
分块对角矩阵可逆当且仅当每个分块可逆，且此时逆矩阵为。
两个对角矩阵的乘积仍然是对角矩阵，且。对于乘方运算，有。
两个准对角矩阵中和是同级方阵，则乘积仍然是准对角矩阵，且。

3、定理：上（下）三角矩阵

已知都是上三角矩阵，且设的主对角元素分别为的主对角元素分别为，则

都是下三角矩阵。
仍然是上三角矩阵，且的主对角元素为。
可逆的充要条件是其主对角元均不为，且可逆时，也是上三角矩阵，并且的主对角元素分别为。

七、行列式

1、定义：行列式（公理化）

数域上的一个阶行列式是取值于的个维向的一个函数，且和，满足下列规则：

（齐性）。
（加性，与合称线性性）。
（反对称性）。
（规范性）。

2、定理：行列式的简单性质

若行列式有一列为零向量，则行列式的值等于。
若行列式有两列元素相同，则行列式的值等于。
若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于。
对行列式做倍加列变换，行列式的值不变。
若线性相关，则。

3、定义：余子式与代数余子式

在阶行列式中，去掉元素所在的第行和第列的所有元素而得到的阶行列式称为元素的余子式，记作,并把数称为元素的代数余子式。

4、定义：行列式（递归式）

设，则：

5、定理：递归式结论

阶行列式的某一行（列）元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即

6、定理：行列式的常用性质

设, ,则：

一般情况下，
初等矩阵行列式（注意初等矩阵不分行列，左乘右乘区分初等行列变换）
,
可逆
上、下三角矩阵行列式均为主对角线元素的乘积
若可逆，则

7、定义：伴随矩阵

称矩阵

为的伴随矩阵，其中是元素的代数余子式。

8、定义：主子式和顺序主子式

矩阵的任意行行)和任意列列)的交点上的个元素排成的行列式

称为矩阵的一个阶子式，若子式等于则称阶零子式，否则称非零子式。当为方阵且（即选取相同行列）时，称为的阶主子式。若，称为的阶顺序主子式（取前行列的左上角主子式）。

9、定义：行列式的秩

矩阵的非零子式的最高阶数称为的行列式秩。

10、定理：行列式的秩与矩阵的秩

的秩的行列式的秩为。矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为。

八、线性方程组

1、线性方程组有解的充要条件

线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。

2、定理：方程组有解条件下的矩阵性质

当方程组有解时（注意这个前提）以下定理成立：

如果它的系数矩阵的秩等于未知量的数目，则方程组有唯一解。
如果的秩小于，则方程组有无穷多个解。

3、克莱姆（Cramer）发展

对线性方程组

令称为系数行列式。

令

第一个方程组只有零解，第一个方程组有非零解（无穷多解），即。
第二个方程组有唯一解，此时，当时，第二个方程组要么无解，要么有无穷多解。

4、定理：齐次线性方程组解的一般结论

齐次线性方程组的解空间为的子空间。矩阵，若，则该齐次线性方程组的解空间维数为，且其一组基就是基础解系。

5、定理：齐次线性方程组同解充要条件

元齐次线性方程组与同解的充要条件是

6、定理：非齐次线性方程组同解的充要条件

元非齐次线性方程组与同解的充要条件是

九、多项式

1、定义：数域上的多项式函数

设是数域，对于函数，若存在使得对任意有

则称函数为系数在中的多项式，其中称为第次项，使得成立的最大整数称为多项式的次数，记为。

2、定义：一般域上的一元多项式

设是域，我们称上的一元多项式是一个形如下式的表达式，即

其中是一个符号，我们称为不定元。称为多项式的系数，更特殊的，称为多项式的常数项，称为第次项。对于非零多项式（即），我们称使得成立的最大整数称为多项式的次数，记为。对于零多项式，其次数定义为。称为多项式的首项系数，若，即多项式首项系数为，则称这一多项式为首一多项式。

3、定义：多项式的加法、数乘、乘法

设，，则

不妨设，则多项式的加法定义为
多项式的数乘定义为

其中；
多项式的乘法定义为

十、相似标准型

1、定义：相似与相似标准型

若对于，存在可逆矩阵，使得，则称相似于，记作。矩阵称为矩阵的相似标准型。

2、定义：特征值与特征向量

设是线性空间上的一个线性变换，如果存在数和非零向量使得，则称数为的一个特征值，并称非零向量为属于其特征值的特征向量。

3、定义：特征子空间

对于某一个，我们将所有满足的向量构成的集合记为：

（在去除线性变换不引起歧义的情况下可简写为），称为关于其特征值的特征子空间。显然，这一集合是由零向量和全体对应的特征向量构成的。我们可以验证的确是的“子空间”

4、定义：矩阵与特征值、特征向量

设矩阵，如果存在数和非零向量使得，则称数为的一个特征值，称非零向量为属于其特征值的特征向量。

5、定理：特征值性质

设是上的线性变换，为恒等映射，则下述条件等价：

是的特征值；
不是单射；
不是满射；
不可逆。

6、定义：特征多项式、几何重数、代数重数

是在之后的讨论中有核心地位的概念，我们称其为矩阵的特征多项式，其重根称为重特征值（称为代数重数），该特征值对应的特征子空间维数称为该特征值的几何重数。

设是上的线性变换，是在任意一组基下的矩阵，则的特征多项式定义为。

7、定理：特征多项式行列式展开

对于级矩阵，记

则，，，且等于所有级主子式之和乘以。

8、定理：相似矩阵的特征多项式

相似矩阵有相同的特征多项式（逆命题不成立），即有，从而有相同的迹、行列式、特征值，但特征向量不一定相同。

9、定理：特征向量基本性质

设是有限维的，且，则

的不同特征值对应的特征向量线性无关。
的不同特征值对应的特征子空间的和为直和。
最多有个不同的特征值。

10、定理：代数重数大于等于几何重数

维线性空间的线性变换的每个特征值的重数（代数重数）大于等于其特征子空间的维数（几何重数）。

11、定理：对角矩阵

维线性空间上的线性变换在基下的表示矩阵为对角矩阵，当且仅当能分解为的一维不变子空间的直和，即：

其中是的一维不变子空间。

12、定义：可对角化

设，如果存在的一组基使得在这组基下的矩阵是对角矩阵，则称可对角化。

设，如果存在可逆矩阵使得是对角矩阵，则称可对角化（等价于相似于对角矩阵）。

13、定理：可对角化的性质

设是数域上的维线性空间，是上的线性变换，是的所有互异特征值，则以下条件等价：

可对角化；
有个线性无关的特征向量，它们构成的一组基；
有在下不变的一维子空间，使得；
；
；
每个特征值的代数重数等于几何重数。

表现在矩阵上，设是数域上的阶矩阵，是的所有互异特征值，则以下条件等价：

可对角化；
有个线性无关的特征向量，它们构成的一组基；
；
每个特征值的代数重数等于几何重数。

14、定理：可对角化的条件

若维空间上的线性变换有个不同的特征值，则可对角化。反之，可对角化不一定有个特征值。

若阶矩阵有个不同的特征值，则可对角化。反之，可对角化不一定有个特征值。

15、定理：上三角矩阵

设为上三角矩阵，则的特征值恰好就是其主对角元，且在对角线上出现的次数就等于特征值的代数重数。

十一、内积空间

1、定义：正交

两个向量称为 正交的，如果。

2、定义：标准正交

如果一个向量组的每个向量范数都是且与其他向量正交，则称这个向量组是标准正交（规范正交）的。任何标准正交向量组都是线性无关的。

3、定义：标准正交基

的标准正交基是中的标准正交向量组构成的基。

十二、二次型

1、定义：二次型

个元的二次齐次多项式

称为域上的元二次型（简称二次型）。

2、定义：相合

我们称阶矩阵相合于（记作），如果存在可逆矩阵使得。

3、定理：矩阵相合（合同）的性质

合同是等价关系；合同不同于相似，是与域有关的；合同要求必须可逆，因此是一种特殊的相抵。
一般不能得到（但是为实对称矩阵时可以），但如果可逆，我们有，同时如果，则有：
表明可以每次做相同的初等行列变换得到，反之亦然。

4、定理：相合变换类型

对称矩阵的下列变换都是相合变换：

对换的第行与第行，再对换第列与第列；
将非零数乘以的第行，再将乘以的第列；
将的第行乘以加到第行，再将的第列乘以加到第列。

5、定理：相合与对角矩阵

设是域上的阶对称矩阵，则必存在上的阶可逆矩阵，使得为对角矩阵。

6、定理：惯性定理

实对称矩阵的相合规范形唯一，或者说实对称矩阵正、负惯性指数唯一，或者实对称矩阵相合标准形中对角线上正、负、零的个数唯一，或者实对称矩阵特征值中正、负、零的个数唯一等。

7、定义：正定、半正定、负定、半负定、不定二次型

设是元实二次型，是实对称矩阵。

若对任意非零元实列向量，都有，则称是正定二次型，是正定矩阵。
若对任意非零元实列向量，都有，则称是半正定二次型，是半正定矩阵。
若对任意非零元实列向量，都有，则称是负定二次型，是负定矩阵。
若对任意非零元实列向量，都有，则称是半负定二次型，是半负定矩阵。
若存在元实列向量，使得且，则称是不定二次型。

8、定理：正定、半正定矩阵性质

阶实对称矩阵是正定矩阵当且仅当其合同于单位阵，是半正定矩阵当且仅当其合同于对角阵

9、定理：正定矩阵的充分必要条件

阶实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是的所有顺序主子式的行列式都大于。

10、定理：正定矩阵性质

若是正定矩阵，则：

的任一阶主子阵都是正定阵；
的所有主子式均为正，特别地，的主对角元素全大于零。
元实二次型的特征值都是正数当且仅当是正定二次型。

11、定理：实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件

设是阶实对称矩阵，那么是正定矩阵的充要条件是存在阶可逆矩阵使得。