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数学期望
一、数学期望的定义与计算方法 1、离散型随机变量 设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{xi\}$，对应概率 $PX=xi=pi$。则 $$ EX = \sumi xi\,pi. $$ 2、连续型随机变量 设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $fx$，则 $$ EX = \int{\infty}^{\in...
二元随机变量函数分布通解公式推导
设 $X,Y$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f{X,Y}x,y$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=gX,Y$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简： $$ F{X,Y}x,y=FXx+FYy $$ 一、线性变换：$Z=aX+bY$ ...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
二维离散随机变量的分布
一、联合分布 Joint Distribution 1. 定义 设二维离散型随机变量$X, Y$的可能取值为$xi, yj$，其联合分布律为： $$ P\{X = xi, Y = yj\} = p{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$ 2. 性质 非负性：$p{ij} \geq 0$ 归一性：$\sum{i...
随机变量函数的分布
一、问题描述 设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = gX$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。 二、离散型随机变量 1. 求解步骤 步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ yj = gxi | xi \in X\Omega \}$ 步骤2：对每个$yj$，计算概率： $$ PY=yj = \sum{xi...
随机变量及其概率分布
一、离散型随机变量分布列 离散型随机变量的分布列是指随机变量取各个可能值的概率列表。设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x1, x2, \ldots, xn$，则其分布列为： $$ PX = xi = pi, \quad i = 1, 2, \ldots, n $$ 其中 $pi \geq 0$ 且 $\sum{i=1}^n pi = 1$。...