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二维离散随机变量的分布
一、联合分布 Joint Distribution 1. 定义 设二维离散型随机变量$X, Y$的可能取值为$xi, yj$，其联合分布律为： $$ P\{X = xi, Y = yj\} = p{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$ 2. 性质 非负性：$p{ij} \geq 0$ 归一性：$\sum{i...
随机变量函数的分布
一、问题描述 设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = gX$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。 二、离散型随机变量 1. 求解步骤 步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ yj = gxi | xi \in X\Omega \}$ 步骤2：对每个$yj$，计算概率： $$ PY=yj = \sum{xi...
全微分与复合多元函数偏导数
一、全微分 对于二元函数 $z=fx,y$，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\Delta x,\Delta y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）： $$\Delta z=fx+\Delta x,y+\Delta yfx,y$$ 的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例...
Bessel不等式与Parseval等式
一、误差公式 误差公式描述了函数 $fx$ 与其傅里叶级数 $k$ 阶三角级数部分和 $Skx$ 之间的逼近误差能量。具体公式为： $$ Ek = \int{\pi}^{\pi} \left| fx Skx \right|^2 \, dx = \int{\pi}^{\pi} |fx|^2 \, dx \pi \left \frac{a0^2}{...
级数的基础定义定理
一、级数定义与其收敛发散性 1、定义：级数、部分数列和 给定数列 $\{an\}$，将其每一项依次用“+”号连接起来的表达式： $$a1 + a2 + \cdots + an + \cdots $$ 称为无穷级数。由于其通项 $an$ 都是常数，也称之为常数项级数，记作 $\sum{n=1}^{+\infty} an$。 在级...
随机变量及其概率分布
一、离散型随机变量分布列 离散型随机变量的分布列是指随机变量取各个可能值的概率列表。设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x1, x2, \ldots, xn$，则其分布列为： $$ PX = xi = pi, \quad i = 1, 2, \ldots, n $$ 其中 $pi \geq 0$ 且 $\sum{i=1}^n pi = 1$。...
线性代数基本定义定理
一、线性空间 1、定义：线性空间 设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律： 1. （加法结合律）$\alpha + \beta + \gam...
基本不定积分公式
一、不定积分的基本性质 1. $$\int kfxdx = k \int fxdx$$ 2. $$\int fx \pm gxdx = \int fxdx \pm \int gxdx$$ 二、基本积分公式 1 常数类 1. $$\int 1dx = x + C \quad \text{或} \quad \int dx = x...
常见等价无穷小量公式
一、基本等价无穷小 1. $\sin x \sim x$ 2. $\tan x \sim x$ 3. $\arcsin x \sim x$ 4. $\arctan x \sim x$ 5. $e^x 1 \sim x$ 6. $\ln1 + x \sim x$ 7. $1 \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ 8. ...
常见麦克劳林展开
1. 指数函数 $$ e^x = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$ 2. 正弦函数 $$ \sin x = \sum{n=0}^{\infty} \frac{1^n x^{2n+1}}{2...