161
文章
32
标签
97.3W
文字
雅可比矩阵在积分变量替换上的应用
极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。 一、极坐标变换的定义 将笛卡尔坐标 $x, y$ 转换为极坐标 $r, \theta$： $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ 其中： $ r \g...
雅可比矩阵
一、雅可比矩阵的定义与推导 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数： $$ J...
二元随机变量函数分布通解公式推导
设 $X,Y$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f{X,Y}x,y$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=gX,Y$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简： $$ F{X,Y}x,y=FXx+FYy $$ 一、线性变换：$Z=aX+bY$ ...
证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
二元函数的重极限和累次极限
在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。 一、重极限（双变量极限） 设 $fx,y$ 是定义在某区域内的函数，我们说 $$ \lim{x,y \to x0,y0} fx,y = L $$ 的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon0$，存在 $\delta0$ 使得当 $$ 0<\sq...
二元函数的圆邻域与方邻域
在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $x0, y0 \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的定义、公式推导及两者之间的关系。 一、定义与基本公式 1、圆邻域（开圆盘） 圆邻域使用欧几里得距离，也称为 $L^2$ 范数。对于给定半径 $r...
不同类型导数（微分）的区别
下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。 一、导数 1、定义 对于实函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $（也可推广到复函数或更一般情形），在某点 $ x0 $ 处，导数定义...
傅里叶级数推导经典级数和
一、基本工具：Parseval 等式 设 $fx$ 是 $\pi, \pi$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为： $$ fx = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^\infty \leftan \cosnx + bn \sinnx\right $$ 则 Parseval 等式为： $$ \frac{1}{\pi}...
泰勒级数与傅里叶级数
一、泰勒级数（Taylor Series） 1. 定义 设函数 $fx$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足： $$ fx = \sum{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}a}{n!}x a^n, $$ 且该级数在某邻域内收敛于 $fx$，则称该级数为 $fx$ 在 $x=a$ 处的泰...