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常微分方程求解（1）
一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。 一、可分离变量方程 我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式 $$ \fr...
协方差和相关系数
一、协方差 1、协方差的定义 回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$EXY=EXEY$，而此式等价于： $$ EXEXYEY= 0\ $$ 那么当$EXEXYEY\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$EXEXYEY$可以在一定程度上...
方差
一、方差的定义与性质 方差是对随机变量取值离散程度的度量。 离散型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \mu^2\bigr = \sumk xk \mu^2 pk $$ 连续型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \m...
数学期望
一、数学期望的定义与计算方法 1、离散型随机变量 设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{xi\}$，对应概率 $PX=xi=pi$。则 $$ EX = \sumi xi\,pi. $$ 2、连续型随机变量 设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $fx$，则 $$ EX = \int{\infty}^{\in...
雅可比矩阵在积分变量替换上的应用
极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。 一、极坐标变换的定义 将笛卡尔坐标 $x, y$ 转换为极坐标 $r, \theta$： $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ 其中： $ r \g...
雅可比矩阵
一、雅可比矩阵的定义与推导 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数： $$ J...
二元随机变量函数分布通解公式推导
设 $X,Y$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f{X,Y}x,y$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=gX,Y$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简： $$ F{X,Y}x,y=FXx+FYy $$ 一、线性变换：$Z=aX+bY$ ...
证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...
二元函数的重极限和累次极限
在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。 一、重极限（双变量极限） 设 $fx,y$ 是定义在某区域内的函数，我们说 $$ \lim{x,y \to x0,y0} fx,y = L $$ 的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon0$，存在 $\delta0$ 使得当 $$ 0<\sq...