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球函数
根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程： $$ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\part...
传输线方程
一、传输线电报方程 !image20251126151056480https://laoguantx.top/article/数学/数学物理方法/传输线方程/image20251126151056480.png 和直流不同，当导线上传输信号频率较高且导线长度与信号波长在同一数量级时，需要考虑导线中分布的电阻、电容、电感和漏电所带来的影响。以平行双线为例推...
二阶常微分方程级数解法与本征值问题
一、特殊函数常微分方程 圆球形和圆柱形就是两种常见的边界，相应地用球坐标系和柱坐标系比较方便。本文研究球坐标系和柱坐标系中的分离变数法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。 1、拉普拉斯方程$\Delta =0$ 1 球坐标系 写出球坐标系下拉普拉斯方程： $$ \Delta u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\pa...
曲线坐标系
一、曲线坐标系 1、曲线坐标系方程 设空间中有三个变量 $u^1, u^2, u^3$，它们可以唯一地确定空间中一点 $P$。空间直角坐标系下，点 $P$ 的坐标为 $x, y, z$。如果存在三元函数： $$ x = xu^1, u^2, u^3,\quad y = yu^1, u^2, u^3,\quad z = zu^1, u^2, u^3 $$...
分离变量法
一、分离变量法的理论基础 1、线性问题的叠加原理 非齐次线性微分方程的解可以分解成一个非齐次方程的特解与多个齐次微分方程解的叠加；对于非齐次的边界条件，也可以把它拆分成一个特定非齐次边界条件与多个齐次边界条件的叠加。把拆分后的微分方程与边界条件进行组合，从而可以把原来比较复杂、难以求解的问题简化为一些比较容易、易于求解问题的叠加。 2、线性问题形式...
数学物理定解问题
一、数学物理方程的导出 1、一维波动方程或者弦的微小横振动 1 物理问题 一固定长度的柔软、均匀细弦，两端拉紧（一般两端固定）。在垂直于弦线方向施加外加激励（可能在初始时刻施加，也可能是在运动过程中持续施加）让它离开原来平衡位置， 在此外加激励作用下弦将作微小的横向振动，需要找到弦上个每个点的运动方程。 2 问题简化 题目中提到的几处字眼： ...
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换 1、拉普拉斯变换的定义 傅里叶积分和傅里叶变换的应用要满足以下两个条件： 1. 原函数$ft$定义域为$\infty,+\infty$。 2. 原函数$ft$在定义域$\infty,+\infty$区间上必须是绝对可积。 为了能让更多的函数能够应用傅里叶变换，我们构造一个新的函数$gt$： $$ gt=e^{\sigma t}ft...
傅里叶变换
一、傅里叶级数 1、周期函数的傅里叶展开 1 三角函数族 $$ \forall x,fx+T=fx $$ 那么称函数$fx$是以$T$为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为： $$ \omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l} $$ 对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）： $$ 1\cos...
留数定理
一、留数定理 1、留数 <img src="https://laoguantx.top/article/数学/数学物理方法/留数定理/image20251011130147155.png" alt="image20251011130147155" style="zoom:50%;" / 如果复变函数$fz$有一个孤立奇点$z{0}$，$fz$在$z{...
复变函数的幂级数展开
一、函数级数与复（函）数级数 1、函数级数相关性质 1 函数级数 如果级数每一项都为函数： $$ S=\sum{k=0}^{\infty}uk\leftz\right $$ 则称其为函数级数。 2函数级数的点收敛性（单点收敛） 如果对于某一个点$z0$，级数$\Sigma uk\leftz0\right$收敛，那么我们称级数在$z0$收敛...