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拉普拉斯定理
一、拉普拉斯变换 1、拉普拉斯变换的定义 傅里叶积分和傅里叶变换的应用要满足以下两个条件： 1. 原函数$ft$定义域为$\infty,+\infty$。 2. 原函数$ft$在定义域$\infty,+\infty$区间上必须是绝对可积。 为了能让更多的函数能够应用傅里叶变换，我们构造一个新的函数$gt$： $$ gt=e^{\sigma t}ft...
傅里叶级数
一、傅里叶级数 1、周期函数的傅里叶展开 1 三角函数族 $$ \forall x,fx+T=fx $$ 那么称函数$fx$是以$T$为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为： $$ \omega =\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{l} $$ 对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）： $$ 1\cos...
留数定理
一、留数定理 1、留数 <img src="https://laoguantx.top/article/数学/数学物理方法/留数定理/image20251011130147155.png" alt="image20251011130147155" style="zoom:50%;" / 如果复变函数$fz$有一个孤立奇点$z{0}$，$fz$在$z{...
复变函数的幂级数展开
一、函数级数与复（函）数级数 1、函数级数相关性质 1 函数级数 如果级数每一项都为函数： $$ S=\sum{k=0}^{\infty}uk\leftz\right $$ 则称其为函数级数。 2函数级数的点收敛性（单点收敛） 如果对于某一个点$z0$，级数$\Sigma uk\leftz0\right$收敛，那么我们称级数在$z0$收敛...
复变函数的积分
!NOTE 在“数学物理方法”分类中，所有文章的闭合曲线积分方向如下规定：沿着曲线行走，要积分的区域一直在左手方位，那么行走的方向即为积分方向。 一、复变函数的积分 1、复变函数积分的定义 !image20250924131659304https://laoguantx.top/article/数学/数学物理方法/复变函数的积分/image202...
复变函数论
一、复数的基本概念 1、复数的表示 复数有三种表示方法： 1. 代数表示：$z=x+y\mathrm{i}$ 2. 三角表示：$z=\rho\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi$ 3. 指数表示：$z=\varphi \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ 三角表示与指数表示之间的转换...
最小二乘法
最小二乘法（Least Squares Method）是一种用于数据拟合的方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，来求得模型参数的最优估计。下面以一元线性回归为例，详细推导最小二乘法的过程。 一、问题描述 给定 $n$ 组数据点 $x1, y1, x2, y2, \ldots, xn, yn$，希望用一个线性函数 $$ y...
常用积分表
一、常见积分表 | 序号 | 积分表达式 | 积分结果 | | | | | | 1 | $\int x^n \, \mathrm{d}x$ ...
常微分方程求解（6）
设$n$阶常数矩阵$\mathbf{A}$中的每一元素$a{ij}\ i,j=1,\cdots,n$都是常数，则称 $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{Ax} + \mathbf{f}t $$ 为常系数线性微分方程组。 我们先介绍常系数齐次方程组 $$ \frac{\m...
叉积和混合积性质
一、叉积 1、定义 设$\mathbf{a} = a1, a2, a3$，$\mathbf{b} = b1, b2, b3$是三维空间中的两个向量，则它们的差积（叉积）定义为： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \...