根据前面的知识，对拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球函数方程：

球函数方程的解称为球函数，即定义在半径的球面上的函数，然后再分离变量，得到：

其中需要从阶连带的勒让德方程：

中解出，式中采用变量代换：

一、轴对称球函数

1、勒让德多项式

当时，勒让德方程为：

使用之前的方法，求出对应级数退化的多项式，将他们分别乘以适当的系数，使得最高次幂项的系数为：

反用系数递推公式，改写为：

就可以把系数一一计算出来，得：

将记为，求得阶勒让德多项式的具体表达式：

其中表示不大于的最大整数。由此写出前几个勒让德多项式：

现在计算，这应当等于多项式的常数项，如，则只含奇次幂项，不含常数项，所以：

如果，则含有常数项，即：

2、勒让德多项式的微分表示

用二项式定理把展开：

把上式求导次，凡是幂次低于的项在求导过程中都变成，所以只需要保留幂次的项，即，这样：

于是我们得到了勒让德多项式的微分形式：

该公式叫做罗德里格斯公式。

3、勒让德多项式的积分形式

利用高阶导数的柯西公式，微分表示可以改写为复变函数上的环路积分：

为平面上围绕点的任意闭合回路。该公式叫做施列夫利积分。该积分还可以进一步化为定积分形式，取为圆周，圆心在，半径为，在上，，，代入到上式，得：

化简得到：

这叫做拉普拉斯积分，由此可以看出：

即：

4、勒让德多项式的正交关系

作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系特例，不同阶的勒让德多项式在上正交，即：

如果从回到原来的变数，则：

5、勒让德多项式的模

如果前一部分中，则可以计算其模：

将上式的使用微分表示，并使用分部积分：

这里的是次多项式，它的阶导数也就是最高幂项的二阶导数，即，于是：

分部积分，得到：

观察分部积分过程，每次分部积分都会使的幂次降低一次，的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子，共操作次，得到勒让德多项式的模：

6、广义傅里叶级数

根据上面的证明，可知勒让德多项式是完备的，可以作为广义傅里叶级数展开的基，定义在的区间上的函数或者定义在区间上的函数都可以展开为广义傅里叶级数。

或：

7、拉普拉斯方程的轴对称定解问题

拉普拉斯方程的定解问题，如果有对称轴，自然就取这对称轴为球坐标的极轴，取这对称轴为球坐标的极轴，由此问题与无关，只需要用的轴对称球函数。如果定解问题只在半球区域内有意义，则应当根据边界条件类型，选择使用奇延拓或者偶延拓，然后使用勒让德方法。

8、母函数

在单位球北极放置一个单位的正电荷，则在球内任意一点的静电势为：

静电势遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴作为对称轴，因此应当满足拉普拉斯方程一般解的形式，即：

研究球心处的电势，应该有限，所以，故：

可以利用广义傅里叶方法展开，更简单地，可以令：

上式左边使用泰勒展开，配凑系数相等得到，于是：

同样的方法，计算出球外的静电势，结果为：

于是，被叫做勒让德多项式的母函数（或者是生成函数），用半径的球代替单位球，则：

9、递推公式

母函数可以推导出勒让德多项式的递推公式，将上式改写为：

两边对求导，并化简得：

将该写的未求导的公式代入到求导后的公式，得：

观察两边的系数，得到：

利用这个式子可以从推导出，这个称为勒让德多项式的递推公式。如果将改写的式子对求导，采取类似的方法化简，比较系数后，可以得到另外一个递推公式：

类似的递推公式还有：

二、连带勒让德函数

1、连带勒让德函数

阶连带勒让德函数的表达式为：

是连带勒让德方程的常点，可以通过一般级数解法求得级数解，但是递推公式极为复杂，难以求出系数的一般形式。所以考虑其他方法，作变换：

在这个这个变换下：

将上面的式子代入到连带勒让德方程中，化为的微分方程：

上式可以使用级数解法直接求解，但是还有更简单的方法。观察上面的微分方程，就是勒让德方程逐项求导次后得到的方程。

证明：

上面的微分方程是勒让德方程逐项求导次后得到的方程。根据莱布尼茨求导法则，有：

将勒让德方程：

对求导次，结果为：

化简得：

即为阶连带勒让德方程。其中：