一、光速

在真空中：

在介质中：

即：

其中

二、光的多普勒效应

当光速远大于源与观察者之间的相对速度时，可以采用经典多普勒公式进行近似：设光源发出频率为，观察者接收到的频率为。光在真空中的传播速度为。为源与观察者之间的相对速度（规定：表示靠近，表示远离）。对于源向观察者运动，经典公式为：

对于源远离观察者运动，公式为：

当接近光速时，需采用相对论的多普勒效应公式。假设光源和观察者的运动方向与光传播方向一致（沿同一直线）：

对于源远离观察者运动，公式为：

对于源靠近观察者运动，公式为：

由于频率和波长满足 ，因此波长的变化计算如下：

对于源远离观察者的情况（红移）：

对于源靠近观察者的情况（蓝移）：

其中为源发射的波长，为观察者接收到的波长。

三、光的色散

质的折射率通常依赖于光的频率（或波长）：

不同波长的光在同一介质中，折射率不同，导致传播速度不同：

其中为真空中的光速，为介质中的光速。光在介质中传播时的相速度（波的某一固定相位，如波峰或波谷传播的速度）：

其中为角频率，为波矢（波数）。群速度描述波包或信息的传播速度：

由于依赖于，群速度与相速度不同，其中，对求导：

因此：

四、惠更斯原理

惠更斯原理是指每一个波前上的点都可以看作是新的“子波源”，每个子波源会向前发射一个新的球面波（或在二维情况下为圆形波）。经过一段时间后，所有这些子波的包络面就构成了新的波前。

假设有一个初始波前，每一个点都成为子波源。经过时间后，各子波源发射的波面半径为（为波速）。所有以为中心，半径为的球面（或圆弧）的包络面就是新的波前。对于波前上的每一点，在时间后，其子波的波面为：

新波前是所有这些球面波的外包络面。

上图中上半部分是介质1（折射率，速度），下半部分是介质2（折射率，速度）。红色箭头表示入射波前，蓝色虚线是反射波前，绿色箭头是折射波前。是入射波前在界面上的各点，是波前在界面上的投影点，是反射波前上的对应点，是折射波前上的对应点。根据惠更斯原理，每个点都是子波源，经过时间，各自发射波：在介质1中传播距离：在介质2中传播距离：。关注反射波前，，由几何关系，，三角形（全等），因此反射角等于入射角：

即，反射角等于入射角，这就是反射定律。

关注折射波前：，入射角，折射角（或其倒数），结合传播距离：

介质的折射率与光速和介质中的光速关系：

所以：

这就是斯涅尔定律（折射定律）。

五、费马原理

假设光从点 传播到点 ，在真空中的速度为 ，路径长度为 ，则传播时间为：

如图所示，光从 经过不同介质，分别有：介质1，折射率 ，路径长度 ；介质2，折射率 ，路径长度 ；介质3，折射率 ，路径长度 。每段的光速为 ，传播时间为 。所以总传播时间为：

代入 得：

光程是描述光在不同介质中传播路径的一种物理量，它与光的传播时间和速度有关。光程定义为光在各段介质中传播相当于在真空中传播的等效距离：

或在路径 上：

对于任意曲线路径，从 到 ，光程可用积分表示：

其中，为路径上的折射率分布，为沿路径的微元长度。满足：

也就是说，光线从一个固定点传播到另一个固定点时，其路径遵循这样的原则：与邻近路径相比，所需时间要么最短，要么最长，要么保持不变（即处于稳态）。用这个原理可以推导出光的入射和反射定律：

对于反射：

对于折射：

六、球面镜成像

1、球面折射成像

图中展示了一个球面折射问题：一个物体位于球面一侧，经过球面折射后在另一侧成像。已知：物体到球心的距离为 ，成像到球心的距离为 ，球面半径为 ，入射介质折射率为 ，出射介质折射率为 ，各角度与距离如图所示。

如图， 为球面上的某点， 为球心， 为物体点， 为像点。首先，三角形中有如下几何关系：

其中： 和 分别是 和 的长度，、 是入射和折射角，、 是物体光线与球心法线的夹角，根据折射定律：

且有：

三角关系代入，得：

利用余弦定理：

利用 ，化简得：

联立，将 与 代入比值关系，有：

这说明，实际情况下，物点 并不能严格成像到 ，因为右边存在与 （偏离轴线的角度）相关的项，只有特殊情况下这个公式的右边为零，才能严格成像。

公式右边为零时：

即：，只有当 时成立，即只有光线完全通过光轴时才成立（这不是一般物理成像，而是几何中心成像）。或者括号内为零：

这两个条件只在特定的 与 值下成立，对一个球面来说，只能找到一组 和 ，即只对应一组物点和像点，不是一般意义上的成像（称为“齐明点”）。

实际成像分析时，通常只考虑靠近光轴的光线（即 ），此时：，，其中 是入射高度，在这种情况下，右边可以忽略原公式在近轴条件下变为：

进一步化简：

再整理得：

这是球面折射的傍轴成像公式。根据上面的公式，我们可以得到第一焦点（第一主焦点）当像距 ，物点在焦点 ：

那么第二焦点（第二主焦点）为：当物距 ，像点在焦点 ：

同样可以推导出焦距转换公式：

以及近轴成像公式（焦点形式）：

这是球面折射（单面透镜）在近轴近似下的经典成像公式，也是实际光学设计中的基本公式。

2、球面反射成像

在 A 左侧（实物）应当满足 ； 在 A 左侧（虚像）应当满足 （上图中应该带有负号）。曲率半径 ，若球心 C 在 A 左侧（凹面），；若在右侧（凸面），。图中， 在 A 的左侧， 为负，球心 C 在左，。

如果 （入射角为正），但 是反向角，几何上 ，所以 实际为负值。由此在特殊情况下有 的情形（仅在极端简化/对称分析时出现）。根据基本傍轴成像公式：

通用焦点公式

将数据代入公式：

化简得：

这是在凹面情况下的成像公式。

3、傍轴物点成像和横向放大率

根据上图，在光学系统中，傍轴光线指的是距离光轴很近，且与光轴夹角很小的光线，其数学表达为：

其中 是物点高度， 是像点高度， 是物距， 是像距， 是曲面半径。若 或 在光轴上方， 或 ，若 或 在光轴下方， 或

横向放大率定义为像点与物点高度之比：

对于折射（或透镜）：折射前：，折射后：，故折射定律可以近似写作：

所以：

对于反射，介质折射率不变，，所以公式简化为：

所以可以作出如下总结：

• ：像比物大
• ：像比物小
• ：像为倒像（上下颠倒）
• ：像为正像（方向不变）

4、复合光学系统的成像（多透镜/多球面系统）

复合光学系统通常包含多个折射面（如多透镜、多球面），每个面都可能有不同的介质折射率。 如图：

• 物点通过三组曲面，最终在处成像。
• 各面折射率分别为：
• 各面前后物距、像距依次为：
• 各曲面半径：

对于每一个折射面（球面），应用折射公式：

• 第1面

• 第2面

• 第3面

对于每一面，也可写作透镜公式：

每一面对应的横向放大率为：

物点高度与视轴夹角的关系：

经过第一折射面后的角度：

所以：

如果将所有面连乘，总放大率为：

这里给出拉格朗日-亥姆霍兹不变量：

其中， 分别为每一面上的物/像高度， 为每一面对应的折射率， 为每一面上光线与光轴夹角。这是在傍轴近似下，光学系统内的一个重要不变量，描述了光束在系统内的传递规律。

七、薄透镜成像

1、焦距计算

薄透镜是指厚度远小于焦距的透镜，可以将两球面的顶点近似为同一点（光心），从而简化成像计算。在上图中，为透镜前介质折射率（通常取空气），为透镜材料折射率为透镜后介质折射率（通常也是空气），、为两球面半径，、为第一球面前的物距与像距，、为第二球面前的物距与像距，为薄透镜近似下的物距、像距（从光心测量）。

对于球面：

对于球面：

每一面可定义主焦距（以前后介质为基准）：

由图中：