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反常积分
一、第一类反常积分定义 设函数$fx$在区间$a,+\infty$上连续，于是对于任意$ta$，积分$\inta^tfx\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号 $$ \inta^{+\infty}fx\mathrm{d}x\xlongequal{\text{def}}\lim{t\to+\infty}\inta^tfx\mathrm...
定积分的应用
一、求平面图形的面积 求曲线$y=f1x,y=f2x$（均连续），$x=a,x=b,a<b$围成的平面图形面积，为： $$ S=\inta^b|f2xf1x|\mathrm{d}x $$ 二、求夹在两平面间的立体的体积 设$\Omega$为一空间立体，它夹在垂直于$Ox$轴的两平面$x=a,x=b$之间$a<b$，我们称$\Omega$为位于$...
根据函数特性计算定积分的方法
注：本文中的计算方法，不包括牛顿莱布尼茨公式和求不定积分的四种方法。 一、利用被积函数的奇偶性 设$fx$在$a,a$上连续，则：若$fx$为偶函数： $$\int^a{a}fx\mathrm{d}x=2\int^a0fx\mathrm{d}x$$ 若$fx$为奇函数： $$\int^a{a}fx\mathrm{d}x=0$$ 可使用换元（令$...
沃利斯（Wallis）积分公式
以正弦函数的沃利斯公式为例：记$In=\int0^{\frac \pi 2}\sin^nx\mathrm{d}x$，当$n\geq2$时，应用凑微分和分部积分得： $$ \begin{aligned} In=&\int0^{\frac\pi2}\sin^nx\mathrm{d}x\\ =&\Big\sin^{n1}x \cos x \big|^{\f...
高等数学部分公式与定理
一、重要的函数极限 1. $\lim{x\to0}\frac{\sin\:x}{x}=1$ 2. $\lim{x\to0}1+x^{\frac{1}{x}}=e$ 3. $\lim {x\to 0}\frac {\ln 1+ x }x= \operatorname { lim} {x\to 0}\frac 1x\ln 1+ x = \...
中学部分不常用数学公式
1. $x\in A\Leftrightarrow x\not\in \complement{U}A,x\in \complement{U}A\Leftrightarrow x\not\in A,\varnothing\subsetneqq A\Leftrightarrow A\neq\varnothing $$ 2. $\complement{U}A...
数列和函数极限的28种定义
数列极限 1. $\lim {n\to + \infty }an= a$ （存在），当$nN$时恒有$|ana|<\varepsilon$。 2. $\lim{n\to+\infty}an=\infty\Leftrightarrow\forall M0,\exists N\in Z^+$，当$nN$时恒有$|an|M$。 3. $\lim{n\to...
集合、关系、运算、结构
一、集合、子集、幂集、直积 1. 设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$. 对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\s...
各种群的定义
一、定义 代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果： 0. 运算封闭性。 1. 运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circb\circ c=a\circ b\circ c$ 2. $G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $...
增广矩阵与解线性方程组
一、增广矩阵 对于一个由$m\times n$个数排成$m$个横行，$n$个竖列的矩形数表称为$m\times n$矩阵。 对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们可以在它的右边加上一个$m\times1$的列向量$\boldsymbol b$，得到一个$m\timesn+1$的矩阵$A,\boldsymbol b$，这个矩阵被称为$A$的增...