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数列和函数极限的28种定义
数列极限 1. $\lim {n\to + \infty }an= a$ （存在），当$nN$时恒有$|ana|<\varepsilon$。 2. $\lim{n\to+\infty}an=\infty\Leftrightarrow\forall M0,\exists N\in Z^+$，当$nN$时恒有$|an|M$。 3. $\lim{n\to...
集合、关系、运算、结构
一、集合、子集、幂集、直积 1. 设$A,B$是两个集合，如果$A,B$含的元素全相同，就说$A,B$相等，记作$A=B$。如果对任意的$a\in A$，均有$a\in B$，则称$A$是$B$的子集，或说$A$含于$B$，$B$包含$A$，记作$A\subset B$. 对任意的集合$A$ ,均有$\emptyset\subset A,A\s...
各种群的定义
一、定义 代数系统$\langle G: \circ \rangle$称为群，如果： 0. 运算封闭性。 1. 运算$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G,a\circb\circ c=a\circ b\circ c$ 2. $G$关于运算$\circ$存在单位元，即$\exists e\in G$，使 $...
增广矩阵与解线性方程组
一、增广矩阵 对于一个由$m\times n$个数排成$m$个横行，$n$个竖列的矩形数表称为$m\times n$矩阵。 对于一个$m\times n$的矩阵$A$，我们可以在它的右边加上一个$m\times1$的列向量$\boldsymbol b$，得到一个$m\timesn+1$的矩阵$A,\boldsymbol b$，这个矩阵被称为$A$的增...
n元向量与高斯消元法
一、$n$元向量 在研究问题过程中，有些研究对象可以用多个数组组成的有序数组来描述，例如在$n$元一次方程$a1x1+a2x2+\cdots+anxn=b$中，可以用其系数和常数$b$排成有序$n+1$元数组$a1,a2,\cdots,an,b$来表示；在按照升幂排列成的一元$n$次多项式$Px=a0+a1x+a2x^2+a2x^3+\cdots+an...
线性代数引入
一、多元线性方程组的求解与解的性质 1. 线性方程组存在三种解的情况： 1. 无解 2. 无数解 3. 唯一解 判断法则：秩。 2. 判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。 二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面 我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线...
不等式及其应用
一、均值不等式 对于$n$个正数$a1,a2,\cdots,an$，有： 1. $An= \frac {a1+ a2+ \cdots + an}n$ 称为算术平均值； 2. $Gn=\sqrtn{a1a2\cdots an}$称为几何平均值； 3. $Hn= \frac n{\frac 1{a1}+ \frac 1{a2}+ \cdo...
坐标变换
一、平移坐标轴所致的坐标变换公式 设$O$是平面上的一个点，以它为原点，如图构建直角坐标系$xOy$。设$O'$是平面上的一点，其坐标是$O^{\prime}x0,y0$.平移直角坐标系$xOy$使得新的原点为$O'$.记平移后的坐标系的两个数轴分别为$x'$和$y'$、坐标系为$x'O'y'$对于平面上的任意一点$P$，如果它在$xOy$和$x'Oy...
一元多项式函数
一、一元多项式函数的形式 设$a0, a1, \cdots , an\in \mathbb{P} , an\neq 0$，我们称下述定义取值均在数域$\mathbb{P}$中的函数 $$fx=anx^n+a{n1}x^{n1}+\cdots+a1x+a0=\sum{i=0}^naix^i,\forall x\in\mathbb{P}$$ 为数域$\...
极坐标与参数方程
一、引言 在平面直角坐标系中,我们用$x,y$来表示平面上的一点,其中$x,y$分别是此点在两个坐标轴上的投影坐标。但在有的情况，直角坐标表示不是最高使的例如在海平面上报告某船只的位置，确定船只的距离与方位要比根告船只在某直角坐标系中的坐标要更直接更方便确定船只的位置，以下个绍的极坐标系就是用“距离”和“方位”来表示（确定）平面上一点的坐标系，同样，用...