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协方差和相关系数
一、协方差 1、协方差的定义 回想数学期望的性质之一，对于相互独立的随机变量$X$和$Y$，当其数学期望都存在时，有$EXY=EXEY$，而此式等价于： $$ EXEXYEY= 0\ $$ 那么当$EXEXYEY\neq0$时，$X$和$Y$一定不独立，也就是它们之间存在某种相依关系。因此我们认为$EXEXYEY$可以在一定程度上...
方差
一、方差的定义与性质 方差是对随机变量取值离散程度的度量。 离散型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \mu^2\bigr = \sumk xk \mu^2 pk $$ 连续型随机变量 $X$ 的方差定义为 $$ \mathrm{Var}X = E\biglX \m...
数学期望
一、数学期望的定义与计算方法 1、离散型随机变量 设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{xi\}$，对应概率 $PX=xi=pi$。则 $$ EX = \sumi xi\,pi. $$ 2、连续型随机变量 设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $fx$，则 $$ EX = \int{\infty}^{\in...
雅可比矩阵在积分变量替换上的应用
极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。 一、极坐标变换的定义 将笛卡尔坐标 $x, y$ 转换为极坐标 $r, \theta$： $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ 其中： $ r \g...
雅可比矩阵
一、雅可比矩阵的定义与推导 雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $，其雅可比矩阵 $ J{\mathbf{F}} $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，元素为各输出分量对输入变量的偏导数： $$ J...
流体运动描述的两种方法
流体运动的描述主要有两种基本方法： 拉格朗日方法（Lagrangian Description）：跟踪流体中各个微小粒子的运动，描述粒子在随时间演化过程中的位置、速度和加速度。 欧拉方法（Eulerian Description）：在固定的空间控制体上描述流体的各种物理量（如速度、密度、压强等）随时间的变化。 下面分别对这两种方法进行详细推...
伯努利方程
伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系，其数学形式为 $$ \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{常数}, $$ 其中 $p$ 为流体压强 $\rho$ 为流体密度 $v$ 为流体速度 $z$ 为高度（或任意参考坐标系中的位移）...
二元随机变量函数分布通解公式推导
设 $X,Y$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f{X,Y}x,y$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=gX,Y$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简： $$ F{X,Y}x,y=FXx+FYy $$ 一、线性变换：$Z=aX+bY$ ...
证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法
一、极限存在 证明 $fx,y$ 在 $a,b$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足 $$ \lim{x,y\to a,b} fx,y = L, $$ 即利用 $\epsilon$$\delta$ 定义证明 $$ \forall \epsilon 0,\, \exists \delta 0,\quad \text{使得...
概率论中的卷积公式
在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。 一、连续型随机变量的卷积 设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $fXx$ 和 $fYy$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度...