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曲面积分
曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。 一、第一类曲面积分（对面积的积分） 1、定义 设$S$是空间中的一个光滑曲面，$fx, y, z$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S...
曲线积分
曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。 一、第一类曲线积分（对弧长的积分） 1、定义 设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$fx, y, z$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$...
统计分布
一、抽样分布定义 统计量的分布称为抽样分布 sampling distribution。在使用统计量进行统计推断时需要知道抽样分布。一般情况下，要给出统计量的精确分布是很困难的，但在某些特殊情形下，如总体服从正态分布的情形下，我们可以给出某些统计量的精确分布，这些精确的抽样分布为正态总体情形下的参数推断提供了理论依据。 在数理统计中，最重要的三个...
统计量
一、统计量的定义 设 $X1,X2,\cdots,Xn$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$gX1,X2,\cdots ,Xn$ 是样本 $X1,X2,\cdots,Xn$ 的函数，若$g$不含未知参数，则称 $gX1,X2,\cdots,Xn$是一统计量。 二、常用统计量 在统计学中，根据不同的目的可以构造出许多不同的统计量，下面是几个...
中心极限定理
一、林德伯格莱维中心极限定理 LindebergLévy CLT 1、定理内容 设${Xn}$是独立同分布的随机变量序列，且满足： 1. 期望存在：$EXk = \mu < \infty$ 2. 方差存在：$VarXk = \sigma^2 < \infty$ $\sigma 0$ 则对于部分和$Sn = \sum{k=1}^n...
各类积分的定义及表达
一、不定积分（Indefinite Integral） 数学定义： $$ \int fx\,\mathrm{d}x = Fx + C,\quad \text{其中 } F'x = fx $$ 通俗解释： 找到一个函数，其导数为已知函数 $fx$，即反导数。 二、定积分（Definite Integral） 数学定义：...
柯尼希定理 (König's Theorem)
1、定理内容 刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和： $$ K = \frac{1}{2}Mv{cm}^2 + K' $$ 2、证明过程 1. 坐标系设定： 实验室系：$\vec{r}i$ 质心系：$\vec{r}i = \vec{r}{...
平行轴定理与垂直轴定理
一、平行轴定理 Parallel Axis Theorem 1、定理内容 刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积： $$ I = I{cm} + Md^2 $$ 2、证明过程 1. 坐标系设定： 设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为...
常微分方程求解（3）
本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。 一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=fx$型的微分方程 对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得...
大数定律及相关概率不等式与收敛概念
一、依概率收敛（Convergence in Probability） 严谨定义： 设 $\{Xn\}$ 是一列随机变量，$X$ 是某个随机变量。如果对任意的 $\varepsilon 0$，都有 $$ \lim{n \to \infty} P|Xn X| \varepsilon = 0, $$ 则称 $Xn$ 依概率收敛于 $X$...