一、傅里叶级数

1、周期函数的傅里叶展开

(1) 三角函数族

那么称函数是以为周期的周期函数，与该周期对应的原频率（称之为基频）为：

对应的三角频率的三角函数族为（或者三角函数序列为）：

对于该三角函数族，首先可以证明它是正交的（任意两个不相同元素的乘积在一个周期内的积分为零，相同两个元素乘积在一个周期内的积分大于零）

(2) 三角函数族的正交性

规定为三角函数的一个周期，那么可以推导如下公式，证明任意两个不相同元素的乘积在一个周期内的积分为零，相同两个元素乘积在一个周期内的积分大于零。

(3) 傅里叶级数展开计算

三角函数族是线性无关的基本函数族，可以将进行傅里叶级数展开：

方法一：傅里叶级数展开分表达式中的系数可以使用三角函数正交性求解，具体来讲，把傅里叶级数展开表达式的两边同时乘上三角函数族中对应的项，然后在一个周期内进行积分，即可求得相应的系数。运算方法可以见文章泰勒级数和傅里叶级数：

• 零次项（平均值）：

• 余弦系数：

• 正弦系数：

方法二：使用最小二乘法来求傅里叶级数的系数。设在区间上有定义，我们希望用如下傅里叶级数来逼近我们希望找到一组系数，使得级数与的均方误差最小，即

其中，是前项的部分和：

目标是使最小。令：

令关于每个和取极值，即对每个和分别求偏导并令其为零：

• 对求导：

• 对求导：

将展开代入上述方程，以为例：

展开：

由于三角函数的正交性：

于是，针对：

• 若：

• 若：

对于同理：

最后得出最小二乘法下的傅里叶系数为：

这就是通过最小二乘法（即均方误差最小）推导出的傅里叶级数展开的系数公式，与方法一的结果相同。

(4) 傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性遵循狄利克雷收敛定理：如果函数及其导数在一个积分周期内是连续或者是分段连续（只有有限个第一类间断点：间断点左，右极限都存在，且有限）那么傅里叶级数在每一点是收敛的，而且：

• 如果是连续点，那么傅里叶级数就收敛到
• 如果是间断点，那么傅里叶级数就收敛到该点左右极限的平均值。

2、奇函数以及偶函数的傅里叶展开

如果周期函数是偶函数，由傅里叶系数的计算公式可见，正弦级数（反对称）项系数均为零，展开式称为傅里叶余弦级数

如果周期函数是奇函数，由傅里叶系数的计算公式可见，余弦级数（包括常数项，对称）项系数均为零，展开式成为傅里叶正弦级数

3、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开

如果函数的定义域是一个有限的区间，可以采取延拓的方法，使其成为某个周期函数的一部分。然后再对延拓后的周期函数进行傅里叶级数展开。常见的延拓方式：

1. 把作为函数的周期进行延拓。
2. 进行奇延拓。
3. 进行偶延拓。

4、复数形式的傅里叶级数

将傅里叶级数表示成复数形式：

我们可以得到：

将上式代入傅里叶级数中，得到：

展开得：

如果记：

最终得到复数形式的傅里叶级数的展开表达式：

在复数形式的傅里叶函数序列为：

复数形式的傅里叶级数项也是正交的，但是是这里的正交与实变函数的正交性有一定的区别，此处是两共轭函数乘积的积分是：

那么应用与实变函数相同的方法，可以计算每一项的系数。假设复数形式的傅里叶级数展开式为：

那么其系数为：

5、广义傅里叶级数

除了用三角函数展开外，我们还可以用其他形式的级数进行展开。对于分段连续的周期函数，总可以用一组完备、正交的函数序列来逼近，而且这种表示方式是唯一的。

二、傅里叶积分与变换

傅里叶变换的意义之一在于将振幅关于时间的图像，转化为振幅关于频率的图像。。

1、实数形式的傅里叶变换

根据上一部分内容可知，对于的周期函数，如果满足狄利克雷条件，可以展开为傅里叶级数：

对于非周期函数，可以将它看成是周期函数的极限，此时：

傅里叶级数中余弦部分的每一项为：

其中，下面定义新函数：

于是得到：

当时，，根据函数积分的定义，上式应该是对从0到的积分：

同理，傅里叶级数中正弦部分和的极限为：

因此，对于满足一些特定条件（见下方傅里叶积分定理）的非周期函数，如果我们引进：

上面两式称为傅里叶变换，那么：