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常微分方程求解（3）
本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。 一、$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=fx$型的微分方程 对于标题指出的这类方程，只需积分两次，就能求得解。积分一次得...
梯度、散度、旋度
我们首先介绍矢量微分算子 $\nabla$ Nabla 或 Del 算子。在三维笛卡尔坐标系中，它的定义是： $$ \nabla = \mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \frac{\partial}{\p...
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式
一、格林公式 1、公式内容 $$ \oint{C} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint{D} \left \frac{\partial Q}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial y} \right\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$ ...
常微分方程求解（5）
本文系统介绍一般线性微分方程的部分解法，包括：变量变换法（欧拉方程、降阶法、特殊变系数方程）、变动任意常数法、幂级数解法（定理、$\gamma$ 阶贝塞尔方程及其解）。 一、变量变换法 1、欧拉方程（CauchyEuler 方程） 典型形式： $$ a{0}x^{n}\frac{\mathrm{d}^{n}n}{\mathrm{...
二重极限存在性与不存在性的证明方法
一、二重极限的定义 设函数$fx, y$在区域$D$内，点$x0, y0$是$D$的聚点。若 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 则称$A$为$fx, y$在点$x0, y0$处的二重极限，记作 $$ \lim{x, y \to x0, y0} fx, y = A $$ 二、证明二重极限存在...
空间中切线、法平面、切平面、法线的求法
一、空间曲线的切线与法平面 1、曲线为参数方程表示 设空间曲线$C$的参数方程为： $$ \begin{cases} x = xt \\ y = yt \\ z = zt \end{cases} $$ 其中$t$为参数。其切向量为： $$ \vec{r}'t = \left \frac{\mathrm{d}x}{\mat...
常微分方程求解（4）
本文将系统介绍常系数线性微分方程的解法方法，分别包括二阶常系数齐次线性微分方程、$n$ 阶常系数齐次线性微分方程、以及常系数非齐次线性微分方程的解法。详细推导各步骤，便于理解和掌握。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 考虑如下方程： $$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + a1\frac{\ma...
狭义相对论
一、经典物理的困境 在19世纪末，经典物理（牛顿力学、麦克斯韦电磁学）面临一系列实验事实的挑战。狭义相对论正是在这些困境下应运而生，并彻底改变了我们对时空的看法。 1、关键实验现象与问题 1. 时间膨胀实验 观测：静止$\pi$介子的平均寿命为$26.0$纳秒（$\mathrm{ns}$），而以$0.913$倍光速（$0.913...
曲面积分
曲面积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲面积分（标量场的曲面积分）和第二类曲面积分（向量场的曲面积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法及其变形推导。 一、第一类曲面积分（对面积的积分） 1、定义 设$S$是空间中的一个光滑曲面，$fx, y, z$是在$S$上定义的标量函数。第一类曲面积分是指对$f$沿$S...
曲线积分
曲线积分是多元微积分中的重要内容，主要分为两类：第一类曲线积分（标量场曲线积分）和第二类曲线积分（向量场曲线积分）。下面详细介绍这两类积分的定义、意义、计算方法和常见性质。 一、第一类曲线积分（对弧长的积分） 1、定义 设$C$是空间中的一条光滑有向曲线，$fx, y, z$是定义在$C$上的一个标量函数。第一类曲线积分是指对$f$沿$...