以正弦函数的沃利斯公式为例：记，当时，应用凑微分和分部积分得：

化简移项得： 当为偶数时： 当为奇数时：

令即可证明余弦公式的沃利斯公式。 根据这两个公式，可以推导出的有理极限表达式：