一、实验测量与误差分布

1、测量的基本概念

• 直接测量：被测量可以直接通过仪器读数获得，无需通过计算转换。
• 间接测量：被测量需通过已知函数关系由直接测量量计算得到。
• 测量的四要素：被测对象、测量程序、测量准确度、计量单位。

2、有效数字与有效位数

• 有效数字：可靠数字（仪器直读）+存疑数字（估读所得），反映测量精度。
• 有效位数：有效数字的总位数。

例子：钢板尺测量 ，其中为可靠数字，为存疑数字，共位有效数字。

3、误差的基本类型与表达

(1)误差的定义

(2)误差的分类

• 系统误差（装置误差）：可预知，不可避免。系统误差包括：

  • 已定系统误差：在同等条件下，对同一个待测量进行多次测量，测量值和真值的偏离总是相同的那部分误差分量，必须修正。
  • 未定系统误差：已知存在于某个范围，而不知具体数值的系统误差

• 随机误差（偶然误差）：无规律涨落，服从统计分布（常见为正态分布）。

• 粗大误差（过失误差）：操作失误，可避免。

(3)误差的表示

• 绝对误差：

• 相对误差（百分误差）：

• 标准误差（标准差）：

4、仪器允差（示值误差）举例

系统允差的计算公式为：

5、误差的分布

(1)正态分布（高斯分布）

多次独立测量值常服从正态分布：

• ：均值（数学期望，近似真值），当测量次数巨大时，将均值看作为真值。
• ：标准差，反映分散性

正态分布存在一下特性：

1. 单峰性：绝对值小的误差出现的可能性（概率）大，绝对值大的误差出现的可能性小。
2. **对称性：**大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。
3. **有界性：**非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。
4. **抵偿性：**当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于零。

概率区间：

• 内概率
• 内概率
• 内概率

假定对一个量进行了有限的 次测量，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值（假定无系统误差）：

并通过如下公式计算出标准偏差：

上式是求出单次测量值的标准偏差的方法，若要求出平均值的标准偏差，需要使用如下公式：

上述公式的来源、推导，需要学习概率论与数理统计模块。

(2)均匀分布

这也是一种常见的测量误差的分布，测量误差值一定会落在的区间内。

6、精密度、正确度与准确度

• 精密度：多次测量值接近程度（数据分散性）。
• 正确度：平均值接近真值程度。
• 准确度：数据集中于真值附近的程度，综合评价。

三、不确定度与误差

1、不确定度的概念

不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差的联合分布范围。由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。

2、不确定度的分类

1. A类分量 ：与随机误差有关，用统计方法评定。

2. B类分量 ：与未定系统误差有关，用非统计方法评定。

这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：

3、不确定度的测量与计算

在具体使用中，测量不确定度又有三种不同的表述：

1. 直接测量的合成标准不确定度
2. 间接测量的合成标准不确定度
3. 扩展不确定度（本文不做研究）

(1)直接测量的合成标准不确定度的计算

对于求测量数据列的平均值：

求平均值的标准偏差：

当 ，置信概率为 时，可简化认为：

然后根据使用仪器得出 ：

• 高斯分布：
• 均匀分布：

总合成不确定度：

给出直接测量的最后结果：

(2)间接测量的合成标准不确定度的计算

间接测量是指利用某种已知的函数关系，从直接测量量来得到待测量量的测量。设间接被测量量 与诸直接测量量 由函数 来确定：

1. 常用于和差形式的函数（公式1）

2. 常用于积商形式的函数（公式2）

或直接表示为（对各变量取对数）：

下面是推导过程：用不确定度 代替微分 ，对于任意函数 ，不确定度传播公式为：

平方求和得到：

即：

三、有效数字与实验数据处理

1、有效数字的修约规则

• 四舍六入五单双法则：四及以下就舍掉，是六及以上就进一，遇五若前面是奇数就进一，最后一位就变成是偶数，若前面已是偶数，则舍掉。
• 有效数字位数反映准确度，与小数点无关，也不因单位不同而改变。

书写规则：

• 有效数字位数由合成不确定度决定。
• 测量值最后一位应与不确定度最后一位对齐。
• 不确定度首位为或时可取位，其他只取位。

例子：

2、有效数字运算法则

• 加减：以末位最高者为准
• 乘除：以有效数字最少者为准

例题：

3、数据处理方法

(1)列表法

把原始数据和结果列入表格，便于查阅和统计。

(2)逐差法

多次测量分前后两组，间距加倍，提高可靠性，减少随机误差。详细推导过程参照高中物理课本

(3)作图法

• 数据点标注
• 连接光滑曲线
• 坐标轴、图名等标注齐全
• 线性拟合时用两点法或最小二乘法

(4)最小二乘法直线拟合

对于一组 ，理论满足 ，使误差平方和最小：

解得：

相关系数 ：

详细推导内容前往文章——最小二乘法