设阶常数矩阵中的每一元素都是常数，则称

为常系数线性微分方程组。

我们先介绍常系数齐次方程组

的解法，再讨论常系数非齐次方程组的情形。

一、常系数齐次线性方程组的解法

与解常系数线性方程类似，根据方程组是齐次、线性， 是常数矩阵的特点，我们可设

来试解，其中 是常向量， 是常数，二者待定。代入得：

注意到 , 是单位矩阵：

移项，并约去非零因子 ，有

这是一个齐次线性代数方程组， 的各分量是未知数。由线性代数可知，有非零解 （即的各分量不全为零）的充要条件是上式的系数行列式等于零，即：

或：

在线性代数中，称上面方程为矩阵的特征方程，其根为的特征根（或称特征值）。与此类似，我们称其和其根为常系数齐次线性微分方程组的特征方程和特征根。

如果是的一个特征根，则将它代入可求得相应的非零解 。在线性代数中称这种非零向量为矩阵属于的特征向量，从而：

是齐次方程的一个解。

1、特征根为单根

设矩阵的特征根都是单根，即有个不同的特征根。又设是属于特征根的特征向量，则方程组有个不同的解：

由于它们在线性无关区间，因此它们构成的一个基本解组。于是

是的通解，其中是任意常数。

2、特征根有复根

若特征方程有复数根，设是实数矩阵，复特征根必共轭地成对出现。设是一个特征根，是属于的一个特征向量，则也是的一个特征根，且是属于的一个特征向量。因此有两个复值解

它们的实部和虚部分别

是两个实值解。在基本解组中，和所对应的两个复值解用这两个实值解来代替，所得解组依然是一个基本解组。

3、特征根有重根

如果矩阵的特征根有重根，则不一定能得如单根情况下的个线性无关的解，但有如下引理：

设矩阵的特征方程有重特征根，则对应于，方程组有下述形式的个线性无关的解：

其中是某些常向量。

其证明思路是将上式代入，整理得到一系列递推方程：

由线性代数理论知，这样可求得个线性无关的向量，从而得个线性无关的解。

4、通解形式总结

设方程组

的系数矩阵有个不同的特征根，其重数分别为，。则：

1. 对于每一个根，方程组(3.24)存在形如 的个线性无关的解，其中是向量函数，其分量为的次数不超过的多项式；
2. 这些解线性无关，构成基本解组；
3. 方程组的通解为 其中是任意常数。

二、常系数非齐次线性方程组的解法

对于右端特殊的常系数非齐次线性方程组，也可采用与线性方程类似的待定系数法求解。但一般性我们介绍变动任意常数法（变参数法）。

考虑一般非齐次线性方程组

设及在区间内连续，且已知对应的齐次线性方程组

的一个基本解矩阵为，则其通解为

其中是维任意常向量。设

是非齐次线性方程组的解，则

代入原方程得

由于为基本解矩阵，其行列式不为零，故可求逆，于是

积分得

因此非齐次项的一个特解为

从而通解为

其中为维任意常向量。

若给定初值条件，则可得，于是初值问题

的解为

三、消元法

对于未知函数个数不多（例如）的常系数齐次或非齐次方程组，我们也可以采取反其道而行之的办法，将其化为高阶线性方程来求解。