一、电磁波的产生

1、静止电荷

当一个电荷静止时，它只在空间周围产生静电场 。在这个情况下，电场的能量密度为：

其中， 是真空介电常数， 是电场强度。此时，空间中没有变化的磁场，也没有能量或动量的传播，因此不会产生电磁波。

2、匀速运动的电荷

当一个电荷以恒定速度运动时，它会产生恒定的磁场 。磁场的能量密度为：

其中， 是真空磁导率， 是磁场强度。在这种情况下，电场能量密度 和磁场能量密度 都随时间保持不变，不发生变化，没有能量和动量在空间中传输，也不会产生电磁辐射（即没有电磁波的发射）。

3、加速运动的电荷

只有当电荷发生加速运动时（即速度随时间变化），如电流 随时间变化，磁场 也随时间变化，此时才会产生电磁辐射。加速的电荷会产生随时间变化的电场和磁场，这些变化的电场和磁场可以在空间中传播，形成电磁波。这种通过加速运动产生的电磁波，本质上是电场和磁场的相互作用和变化通过空间传播能量。

4、LCR电路

LCR电路由电感（L）、电容（C）和电阻（R）串联组成。设电容上的电荷为 ，应用基尔霍夫电压定律，电感的电压为，电阻的电压为，电容的电压为，则回路总电压为零，得到：

这是一个二阶线性齐次微分方程。该方程的通解为：

其中， 是初始电荷， 是振荡角频率， 是初相位。角频率和阻尼系数分别为：

其中当 很小时，阻尼很弱，系统近似无阻尼振荡，角频率简化为：

由于电阻的存在，能量会随着时间逐渐损耗。电荷的振荡会随时间指数衰减， 随时间呈现阻尼振荡，振幅逐渐减小，最终趋于零。

二、电磁波的传播

当一个电偶极子（如天线中的两极）发生振荡时，它会产生电磁辐射。偶极子的振荡电流随时间变化，通常为谐振荡形式：

这会导致偶极子周围的电场和磁场发生周期性变化，从而向外辐射电磁波。偶极子的辐射是线性极化的，即电场矢量的振动方向始终保持在一个固定的方向上——这个方向就是偶极子的轴向。例如，垂直偶极子的电场振动方向也是垂直的。这种极化方式在天线和无线电技术中非常常见。

偶极子的辐射强度在空间不同方向并不均匀，形成了特定的辐射方向图：

三、电磁波的性质

在距离波源较远的自由空间（），电磁波具有以下性质：

1、横波性质

电磁波是横波，即电场 和磁场 的振动方向都垂直于波的传播方向 ：

电场、磁场和传播方向三者互相垂直，构成空间中的正交坐标系。

2、电场与磁场互相垂直

在电磁波中，电场 与磁场 彼此总是垂直：

3、电场与磁场同相

电磁波中的电场和磁场变化同步，即同相：

在空间中某一点，电场和磁场的最大值、最小值同时出现。

4、右手定则

三者满足右手定则：用右手，拇指指向波的传播方向 ，食指指向电场方向 ，中指指向磁场方向 。即：

5、电磁波的传播速度

电磁波在自由空间中的传播速度为：

其中 为介质的相对介电常数（自由空间为 1）， 为介质的相对磁导率（自由空间为 1）， 为真空介电常数， 为真空磁导率

在真空或空气中：

6、振幅关系

磁场与电场的振幅存在以下关系：

四、麦克斯韦方程组求解

积分形式的麦克斯韦方程组：

自由空间下的麦克斯韦方程组（, ）没有自由电荷，没有电流：

将第一个方程和第二个方程的电场写成分量形式，为：

将第一个方程和第二个方程的磁场写成分量形式，为：

平面波是指电磁波在空间传播时，在任意与传播方向垂直的平面上，其相位（）处处相等。即波面上所有点的相位一致。假设电磁波沿轴传播，波矢指向轴。为简化推导，电场和磁场仅依赖于和，与、无关（即、在整个波面上分布均匀）。如图，蓝色箭头表示电场（），沿方向。红色箭头表示磁场（），沿方向，黑色箭头表示传播方向（，沿轴），波面是垂直于的平面，在图中为黑色平面：

平面波条件下的麦克斯韦方程分量表达式，包括：

1. 电场的散度方程

2. 电场的旋度方程（各分量）

3. 磁场的散度方程

4. 磁场的旋度方程（各分量）

由于平面波假设和仅依赖于和，所以所有关于和的导数都为零：

上述各式可以进一步简化为只含和的偏导数。电场散度方程变为：

磁场散度方程变为：

同时，根据电场和磁场的旋度方程，还可以得到：

说明在方向上为常数，且不随时间变化，而通常可取，即电场和磁场在传播方向上没有分量。即：

电场旋度分量可以进行化简：

磁场旋度分量化简为：

这里不妨设电场与轴平行，，那么可以得到：

说明在这种假设情况下，是常数，故磁场强度在轴方向上的分量零，故：

将方程：

两边对求导，得到：

即：

同理，对于磁场：

根据数学物理方法相关知识，解得波动方程的常规解：

这里，、为振幅，为角频率（倍于频率），为波数，决定空间周期。将解带入波动方程，得到：

即

波相位为 。对上式取全微分：

定义波速 ：

对于真空，波速即：

这就是光在真空中的速度。再次回到方程的常规解，取

方程右边分别对和求导：

带入第一个方程：

所以

消去公因子，移项：

联立波数与频率波速关系 ，得到：

而波速 ，所以：

即：

化简，得到：

由上面的解形式，和的相位相同（），即：

更一般地，可以写成：

如果考虑相位，则：

在真空中，结果为：

进一步，

或反过来，

于是，我们通过了麦克斯韦方程组求得了所有的电磁波的性质。

五、电磁波的能量

1. 电磁场的能量密度及总能量

在空间 内，电磁场的总能量 是电场和磁场能量的总和，可以表达为：

其中， 是电场强度， 是磁感应强度， 是真空介电常数， 是真空磁导率，是体积分微元

在更一般的情况下，介质并非真空，需用电位移矢量 和磁感应强度 及磁场强度 来表示能量：

其中， 是电位移矢量， 是电场强度， 是磁感应强度， 是磁场强度。在各向同性线性介质中，有如下关系：

其中 是相对介电常数和磁导率。

在非稳态（即电场 、磁场 随时间变化）时，电磁场能量随时间变化电磁场的总能量为：

2、波印廷矢量与电磁波能量转换

对时间求导，得到能量变化率：

对 求时间导数，若 ，，则：

一般写为：

麦克斯韦方程组给出：

带入能量变化率公式：

根据矢量恒等式：

所以：

将体积分换成闭合曲面积分（高斯定理）：

最终能量变化率表达为：

第一项中的为波印廷矢量， 的方向表示电磁能量流动的方向，即电磁能量在空间中传播的方向。 的模表示单位面积单位时间通过某点的电磁能量（即能量通量密度，单位：）。其中第二项 ​ 表示电流在电场中做的功（单位时间内），即能量的“消耗”或转化。欧姆定律的一般形式：