一、常见积分表
| 序号 | 积分表达式 | 积分结果 |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 | ||
| 11 | ||
| 12 | ||
| 13 | ||
| 14 | ||
| 15 | ||
| 16 | ||
| 17 | ||
| 18 | ||
| 19 | ||
| 20 | ||
| 21 | ||
| 22 | ||
| 23 | ||
| 24 | ||
| 25 | ||
| 26 | ||
| 27 | ||
| 28 | ||
| 29 | ||
| 30 |
二、详细证明
下面对上述表格中的部分积分公式进行详细推导。其余积分的推导可类似进行。
1. 幂函数积分
证明：
对
因此，
2.
证明：
故积分结果为
3.
证明：
故积分结果为
4.
证明：
5.
证明：
6.
证明：
7.
证明：
8.
证明：
9.
证明：
令
令
10.
证明：
11.
证明：
考虑分子分母同乘
令
所以
12.
证明：
分子分母同乘
令
所以
13.
证明：
14.
证明：
15.
证明：
16.
证明：
17.
证明：
18.
证明：
19.
证明：
令
又
20.
分部积分法，令
21.
证明：
分部积分，
22.
分部积分法，令
23.
分部积分法，令
24.
证明：
25.
令
又
26.
令
又
27.
可拆分为部分分式：
所以
28.
证明：
合并表示为
29.
证明：
分部积分，
令
所以
30.
证明：
分部积分，
对于
所以