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微积分 • 共18篇

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路边的一头 2025 年 04 月 27 日

狄伊 2025 年 04 月 26 日

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狐亦 2025 年 04 月 26 日

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LZH 2025 年 03 月 24 日

苏珊 2024 年 11 月 17 日

还得是官爷

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常微分方程求解（3）

常微分方程求解（3）

2025年04月30日

424字 1916字符 19

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常微分方程求解（3）本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程，他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程，称为可降阶的二阶微分方程，这里所用的一些处理方法，对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\...

雅可比矩阵在积分变量替换上的应用

雅可比矩阵在积分变量替换上的应用

2025年04月20日

627字 2651字符 56

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雅可比矩阵在积分变量替换上的应用极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导，结合几何直观与代数计算，验证其正确性。一、极坐标变换的定义将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r,...

雅可比矩阵

雅可比矩阵

2025年04月20日

597字 3417字符 56

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雅可比矩阵一、雅可比矩阵的定义与推导雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb...

证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法

证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法

2025年04月11日

638字 2065字符 101

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证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法一、极限存在证明 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处的极限存在，需要证明存在常数 $L$，满足这通常要求先求出 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 的解析表达式，然后验证其在 ...

概率论中的卷积公式

概率论中的卷积公式

2025年04月10日

483字 1531字符 95

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概率论中的卷积公式在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。一、连续型随机变量的卷积设 $X$ 和...

二元函数的重极限和累次极限

二元函数的重极限和累次极限

2025年04月10日

825字 2308字符 110

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二元函数的重极限和累次极限在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。一、重极限（双变量极限）设 $f(x,y)$ 是定义在某区域内的函数，我们说显然当 $k$ 变化时，趋近值不同，从而重极限不存...

二元函数的圆邻域与方邻域

二元函数的圆邻域与方邻域

2025年04月10日

803字 3459字符 76

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二元函数的圆邻域与方邻域在二维欧几里得空间中，我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$，两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的...

不同类型导数（微分）的区别

不同类型导数（微分）的区别

2025年04月09日

2502字 5236字符 78

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不同类型导数（微分）的区别下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。一、导数1、定义对于实函数...

傅里叶级数推导经典级数和

傅里叶级数推导经典级数和

2025年04月06日

238字 2692字符 80

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傅里叶级数推导经典级数和一、基本工具：Parseval 等式设 $f(x)$ 是 $[-\pi, \pi]$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为：但不像 $1/n^2$ 和 $1/n^4$，它不能由傅里叶级数直接表示出封...

泰勒级数与傅里叶级数

泰勒级数与傅里叶级数

2025年04月06日

660字 3700字符 86

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泰勒级数与傅里叶级数一、泰勒级数（Taylor Series）1. 定义设函数 $f(x)$ 在某点 $x=a$ 的邻域内有无穷阶导数。若存在一个级数满足：三、总结对比特性泰勒级数傅里叶级数适用对象光滑函数周期函数...