2025年04月30日 424字 1916字符 19阅读 数学 常微分方程求解(3) 本篇文章讨论几种特殊形式的二阶微分方程,他们可以经过适当的变量替换降阶为一阶微分方程,称为可降阶的二阶微分方程,这里所用的一些处理方法,对于高阶方程也适用。下面讨论三种情况下的求解方法。一、$\...
2025年04月27日 1523字 6080字符 36阅读 数学 常微分方程求解(1) 一般,在一个(组)方程中,如果未知量是一个(组)函数,而且该方程中含有此未知函数的导数,则称这种方程为微分方程(组),如果在微分方程里,出现的未知函数是单个自变量的函数,我们称这一类微分方程为常...
2025年04月20日 627字 2651字符 56阅读 数学 雅可比矩阵在积分变量替换上的应用 极坐标变换的雅可比行列式推导过程是理解多变量积分中变量替换的核心。以下是详细推导,结合几何直观与代数计算,验证其正确性。一、极坐标变换的定义将笛卡尔坐标 $(x, y)$ 转换为极坐标 $(r,...
2025年04月20日 597字 3417字符 56阅读 数学 雅可比矩阵 一、雅可比矩阵的定义与推导雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是描述向量值函数一阶偏导数的矩阵。对于一个函数 $ \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb...
2025年04月11日 638字 2065字符 101阅读 数学 证明二元函数某点极限存在、连续、可偏导、可微以及偏导数连续的方法 一、极限存在证明 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处的极限存在,需要证明存在常数 $L$,满足这通常要求先求出 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$ 的解析表达式,然后验证其在 ...
2025年04月10日 483字 1531字符 95阅读 数学 概率论中的卷积公式 在概率论中,卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法,通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应,通常应用于连续型和离散型随机变量。一、连续型随机变量的卷积设 $X$ 和...
2025年04月10日 825字 2308字符 110阅读 数学 二元函数的重极限和累次极限 在讨论二维函数极限问题时,“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。一、重极限(双变量极限)设 $f(x,y)$ 是定义在某区域内的函数,我们说显然当 $k$ 变化时,趋近值不同,从而重极限不存...
2025年04月10日 803字 3459字符 76阅读 数学 二元函数的圆邻域与方邻域 在二维欧几里得空间中,我们常常用邻域来描述一个点周围的“微小区域”。对于一个点 $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$,两种常见的邻域是圆邻域和方邻域。下面我们详细讨论它们的...
2025年04月09日 2502字 5236字符 78阅读 数学 不同类型导数(微分)的区别 下面给出关于“导数”、“偏导数”、“全微分”、“方向导数”、“向量函数导数”、“矩阵导数”、“行列式导数”这七个数学概念在定义、几何意义、作用、性质四个方面的详细说明。一、导数1、定义对于实函数...
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