一、抛体运动

1. 运动分解与受力分析

假设条件：忽略空气阻力，仅受重力 $\overrightarrow{F}=-mg\hat{j}$，初速度 ${\overrightarrow{v}}_0=v_0\cos {\theta }_0\hat{i}+v_0\sin {\theta }_0\hat{j}$。

牛顿第二定律

$$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}=-g\hat{j}$$

2. 速度与位移公式推导

水平方向（$x$ 轴）：匀速运动

• 速度：$v_x=v_0\cos {\theta }_0$

• 位移：

  $$x(t)=v_0\cos {\theta }_0\cdot t$$

竖直方向（$y$ 轴）：匀加速运动

• 速度：

  $$v_y(t)=v_0\sin {\theta }_0-gt$$

• 位移：

  $$y(t)=y_0+v_0\sin {\theta }_0\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

3. 轨迹方程推导

消去时间 $t$，由 $t=\frac{x}{v_0\cos {\theta }_0}$，代入 $y(t)$：

$$y=y_0+\tan {\theta }_0\cdot x-\frac{g}{2(v_0\cos {\theta }_0{)}^2}{x}^2$$

4. 水平射程公式推导

当抛体落地时 $y=y_0$，解方程：

$$0=\tan {\theta }_0\cdot R-\frac{g{R}^2}{2(v_0\cos {\theta }_0{)}^2}$$

解得：

$$R=\frac{v_0^2}{g}\sin 2{\theta }_0$$

二、圆周运动

1. 匀速圆周运动

位置矢量参数化

质点绕圆心做半径为 $r$ 的圆周运动，角速度 $\omega$ 恒定：

$$\overrightarrow{r}(t)=r\cos (\omega t)\hat{i}+r\sin (\omega t)\hat{j}$$

速度矢量

对 $\overrightarrow{r}(t)$ 求导：

$$\overrightarrow{v}(t)=-r\omega \sin (\omega t)\hat{i}+r\omega \cos (\omega t)\hat{j}$$

速度大小：

$$v=r\omega$$

方向沿切向单位向量 ${\hat{u}}_{\varphi }=-\sin (\omega t)\hat{i}+\cos (\omega t)\hat{j}$。

向心加速度

对 $\overrightarrow{v}(t)$ 求导：

$$\overrightarrow{a}(t)=-r{\omega }^2\cos (\omega t)\hat{i}-r{\omega }^2\sin (\omega t)\hat{j}=-{\omega }^2\overrightarrow{r}(t)$$

表明加速度方向指向圆心，大小为：

$$a_c=\frac{v^2}{r}=r{\omega }^2$$

2. 变速圆周运动

总加速度分解

当角速度 $\omega (t)$ 随时间变化时，加速度包含：

1. 法向加速度（向心加速度）：由速度方向变化引起

   $$a_n=\frac{v^2}{r}=r{\omega }^2$$

2. 切向加速度：由速度大小变化引起

   $$a_t=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=r\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=r\alpha$$

加速度矢量表达式

总加速度为法向和切向分量的矢量和：

$$\overrightarrow{a}=a_t{\hat{u}}_{\varphi }+a_n(-{\hat{u}}_r)=r\alpha {\hat{u}}_{\varphi }-r{\omega }^2{\hat{u}}_r$$

推导过程

1. 参数化运动
   设角速度 $\omega (t)$ 随时间变化，角加速度 $\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}}$，位置矢量为：

   $$\overrightarrow{r}(t)=r\cos \theta (t)\hat{i}+r\sin \theta (t)\hat{j}$$

   其中 $\theta (t)=\int \omega (t)dt+{\theta }_0$。

2. 速度矢量
   对 $\overrightarrow{r}(t)$ 求导：

   $$\overrightarrow{v}(t)=-r\omega \sin \theta \hat{i}+r\omega \cos \theta \hat{j}+r\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}t(-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j})$$

   第二项因 $\alpha \ne 0$ 产生切向加速度。

3. 加速度矢量
   对 $\overrightarrow{v}(t)$ 求导并化简：

   $$\overrightarrow{a}(t)=-r{\omega }^2\cos \theta \hat{i}-r{\omega }^2\sin \theta \hat{j}+r\alpha (-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j})$$

   分解为法向和切向分量：

   $$\overrightarrow{a}=-\frac{v^2}{r}{\hat{u}}_r+\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}{\hat{u}}_{\varphi }$$

注：

• 抛体运动轨迹为抛物线，水平射程由初速度和角度决定。
• 匀速圆周运动仅有向心加速度；变速圆周运动需同时考虑切向和法向加速度。