1、定理内容

刚体系统的总动能$K$等于质心平动能$\frac{1}{2}Mv_{cm}^2$与各质点相对质心的动能$K'$之和：

$$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + K' $$

2、证明过程

1. 坐标系设定：

   • 实验室系：$\vec{r}_i$
   • 质心系：$\vec{r}_i = \vec{r}_{cm} + \vec{r}_i'$

2. 速度关系：

   $$ \vec{v}_i = \vec{v}_{cm} + \vec{v}_i' $$

3. 总动能表达式：

   $$ \begin{align*} K &= \sum \frac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2}m_i (\vec{v}_{cm} + \vec{v}_i') \cdot (\vec{v}_{cm} + \vec{v}_i') \\ &= \frac{1}{2} \sum m_i v_{cm}^2 + \sum m_i \vec{v}_{cm} \cdot \vec{v}_i' + \frac{1}{2} \sum m_i v_i'^2 \end{align*} $$

4. 简化中间项：

   $$ \sum m_i \vec{v}_i' = 0 \quad \text{(质心系中总动量为零)} $$

5. 最终结果：

   $$ K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \sum \frac{1}{2}m_i v_i'^2 $$

6. 公式变形：

   由于 $I=\sum m_i r_i'^2,v_i'=\omega r_i'$，得：

   $$ K=\frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \sum \frac{1}{2}m_i v_i'^2=\frac{1}{2}Mv_{cm}^2+\frac{1}{2}I\omega^2 $$

二、结合平行轴定理的柯尼希定理

1. 相对质心的动能：

   $$ K' = \sum \frac{1}{2}m_i v_i'^2 = \frac{1}{2}\omega^2 \sum m_i r_i'^2 = \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2 $$

2. 平行轴定理应用：
   若绕任意点$P$转动，转动惯量$I_P = I_{cm} + Md^2$，则：

   $$ \begin{align*} K &= \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}(I_P - Md^2)\omega^2 \\ &= \frac{1}{2}M(v_{cm}^2 - d^2\omega^2) + \frac{1}{2}I_P\omega^2 \end{align*} $$

3. 特殊情形：

   • 当$P$为瞬时转动中心时（$v_{cm} = d\omega$）：

     $$ K = \frac{1}{2}I_P\omega^2 $$

关键点对比

典型应用场景：

1. 滚动圆柱体的动能分析
2. 刚体碰撞过程中的能量计算
3. 多体系统动力学问题