一、平行轴定理 (Parallel Axis Theorem)

1、定理内容

刚体关于任意轴的转动惯量$I$，等于关于通过质心的平行轴的转动惯量$I_{cm}$加上刚体质量$M$与两轴间距离$d$平方的乘积：

$$ I = I_{cm} + Md^2 $$

2、证明过程

1. 坐标系设定：

   • 设质心轴为$z'$轴，任意平行轴为$z$轴
   • 两轴间距$d$在$x$-$y$平面内，设$d$沿$x$方向

2. 转动惯量定义：

   $$ I_{cm} = \sum m_i (x_i'^2 + y_i'^2) $$

   $$ I = \sum m_i [(x_i' + d)^2 + y_i'^2] $$

3. 展开计算：

   $$ \begin{align*} I &= \sum m_i [x_i'^2 + 2dx_i' + d^2 + y_i'^2] \\ &= \sum m_i (x_i'^2 + y_i'^2) + 2d \sum m_i x_i' + d^2 \sum m_i \end{align*} $$

4. 简化表达式：

   • 第一项为$I_{cm}$
   • 第二项$\sum m_i x_i' = 0$（质心坐标系性质）
   • 第三项$Md^2$

5. 最终结果：

   $$ I = I_{cm} + Md^2 $$

二、垂直轴定理 (Perpendicular Axis Theorem)

1、定理内容

对薄平板刚体，绕垂直于平板$z$轴的转动惯量$I_z$等于绕平板内$x$轴和$y$轴转动惯量之和：

$$ I_z = I_x + I_y $$

2、证明过程

1. 薄板特性假设：

   • 厚度可忽略，所有质量分布在$x-y$平面
   • $z$坐标恒为$0$

2. 转动惯量表达式：

   $$ \begin{align*} I_x &= \sum m_i y_i^2 \\ I_y &= \sum m_i x_i^2 \\ I_z &= \sum m_i (x_i^2 + y_i^2) \end{align*} $$

3. 直接相加验证：

   $$ I_x + I_y = \sum m_i y_i^2 + \sum m_i x_i^2 = \sum m_i (x_i^2 + y_i^2) = I_z $$

三、关键点总结

注意：垂直轴定理仅适用于无限薄的平面刚体，三维物体不适用！