一般，在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，而且该方程中含有此未知函数的导数，则称这种方程为微分方程（组），如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程。下面通过几篇文章，推导各种常微分方程的求解方法。

一、可分离变量方程

我们首先讨论已解出导数的一阶微分方程的一种特殊形式

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi (x)\psi (y)$$

的方程，其特点是，方程右边是一个$x$的函数与一个$y$的函数的乘积，我们称这类方程为可分离变量的微分方程。设$\phi (x)$和$\psi (y)$都是连续函数，且$\psi (y)\ne 0$。

这类方程的解法被称为“分离变量法”，其核心思想是将含有$y$的部分和含有$x$的部分分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

我们改写方程，使等号一边仅含 $y$ 的函数和 $y$ 的微分 $\mathrm{d}y$，另一边仅含 $x$ 的函数和 $x$ 的微分 $\mathrm{d}x$，即：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\phi (y)}=\phi (x)\mathrm{d}x$$

设 $y=y(x)$ 是方程满足初值条件 $y{|}_{x=x_0}=y_0$ 的解，则

$$\frac{\mathrm{d}(y(x))}{\phi (y(x))}\equiv \phi (x)\mathrm{d}x$$

两边从 $x_0$ 到 $x$ 积分，得：

$${\int }_{x_0}^x\frac{\mathrm{d}(y(\zeta ))}{\phi (y(\zeta ))}\equiv {\int }_{x_0}^x\phi (\zeta )\mathrm{d}\zeta$$

对左式作变量变换，命 $\eta =y(\zeta )$。则当 $\zeta =x_0$ 时，$\eta =y(x_0)=y_0$, $\zeta =x$ 时，$\eta =y(x)$，于是有：

$${\int }_{y_0}^{y(x)}\frac{\mathrm{d}\eta }{\phi (\eta )}\equiv {\int }_{x_0}^x\phi (\zeta )\mathrm{d}\zeta$$

即 $y=y(x)$ 满足方程：

$${\int }_{y_0}^y\frac{\mathrm{d}\eta }{\phi (\eta )}={\int }_{x_0}^x\phi (\zeta )\mathrm{d}\zeta$$

反之，设 $y=y(x)$ 是方程满足 $y{|}_{x=x_0}=y_0$ 所确定的隐函数，将上式两边对 $x$ 求导数，得

$$\frac{1}{\phi (y(x))}\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}=\phi (x)$$

故知 $y=y(x)$ 是方程的解。

也可用不定积分法求方程的通解：将式子两边分别对$y,x$积分，得：

$$\int \frac{\mathrm{d}y}{\psi (y)}=\int \phi (x)\mathrm{d}x+c$$

设有$y^{\ast }$使$\psi (y^{\ast })=0$，则易知$y=y^{\ast }$也是方程的一个解，在求微分方程的解时，不要忘了这种解。这个解，有时可认为包含在积分式中，有时并不包含在积分式中，一般要单独去做。

二、齐次方程（零齐次方程）

我们首先讨论零齐次微分方程的一种特殊形式

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$

该方程特点是，方程右边是一个关于 $\frac{y}{x}$ 的函数，我们称这类方程为齐次微分方程。我们假设设 $F$ 是连续函数。

这类方程的解法被称为“变量替换法”，其核心思想是通过引入新变量 $v=\frac{y}{x}$，将原方程转换为可分离变量的微分方程。

我们进行变量替换，令 $v=\frac{y}{x}$，则 $y=vx$，对 $x$ 求导得：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$$

代入原方程，得到：

$$v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=F(v)$$

整理方程，使含 $v$ 的部分和含 $x$ 的部分分别分离：

$$x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=F(v)-v$$

进一步改写为可分离变量形式：

$$\frac{\mathrm{d}v}{F(v)-v}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

设 $y=y(x)$ 是方程满足初值条件 $y{|}_{x=x_0}=y_0$ 的解，对应的变量替换为 $v_0=\frac{y_0}{x_0}$。对两边从 $x_0$ 到 $x$ 积分：

$${\int }_{v_0}^{v(x)}\frac{\mathrm{d}\eta }{F(\eta )-\eta }={\int }_{x_0}^x\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta }$$

对右式直接积分，左式作变量变换 $\eta =v(\zeta )$，得：

$${\int }_{v_0}^{v(x)}\frac{\mathrm{d}\eta }{F(\eta )-\eta }=\ln \left|\frac{x}{x_0}\right|$$

将 $v(x)=\frac{y(x)}{x}$ 代回，得到隐式解：

$${\int }_{v_0}^{\frac{y}{x}}\frac{\mathrm{d}\eta }{F(\eta )-\eta }=\ln \left|\frac{x}{x_0}\right|$$

反之，将隐式解两边对 $x$ 求导可验证解的正确性：

$$\frac{1}{F\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}}\left(\frac{y^{\prime }x-y}{x^2}\right)=\frac{1}{x}$$

整理后还原为原方程形式。

通解可通过不定积分表示为：

$$\int \frac{\mathrm{d}v}{F(v)-v}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}+C$$

三、一阶线性微分方程

1、一阶齐次线性方程

我们讨论一阶线性齐次微分方程的标准形式

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0$$

其特点是方程可表示为未知函数 $y$ 与其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的线性组合，且右端项为零。我们称此类方程为线性齐次微分方程，其中 $P(x)$ 是已知连续函数。这类方程的解法仍是为"分离变量法"。

将方程改写为可分离变量形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{y}=-P(x)\mathrm{d}x$$

对两边分别进行不定积分：

$$\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-\int P(x)\mathrm{d}x+C$$

计算左式积分时需注意 $y\ne 0$ 的隐含条件，得到：

$$\ln |y|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C$$

通过指数运算消去对数，得通解表达式：

$$y=\pm e^C\cdot e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$

将 $\pm e^C$ 合并为任意常数 $C\in \mathbb{R}$，最终通解为：

$$y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$

当 $C=0$ 时，$y=0$ 是方程的平凡解，已包含在通解表达式中，分离变量时假设 $y\ne 0$，但最终通解通过常数 $C$ 的任意性自然包含了所有可能情况。

2、一阶非齐次线性方程

我们讨论一阶线性非齐次微分方程的标准形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

其特点是方程可表示为未知函数 $y$ 与其导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的线性组合，且右端项为已知函数 $Q(x)$。我们称此类方程为线性非齐次微分方程，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知连续函数。这类方程的解法通常为"积分因子法"。

首先构造积分因子 $\mu (x)$，使得方程可化为全微分形式。积分因子由下式给出：

$$\mu (x)=e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$$

将原方程两边乘以积分因子：

$$\mu (x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x)$$

此时方程左边可表示为全导数形式，而构造积分因子的目的就是希望能够转化为一阶：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\mu (x)y]=\mu (x)Q(x)$$

对两边进行不定积分：

$$\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\mu (x)y]\mathrm{d}x=\int \mu (x)Q(x)\mathrm{d}x+C$$

计算左式积分并整理得：

$$\mu (x)y=\int \mu (x)Q(x)\mathrm{d}x+C$$

将积分因子表达式代入并解出 $y$，得到通解：

$$y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}(\int e^{\int P(x)\mathrm{d}x}Q(x)\mathrm{d}x+C)$$

其中 $C\in \mathbb{R}$ 为任意常数。当 $Q(x)\equiv 0$ 时，解自动退化为齐次方程的通解形式，表明非齐次解包含齐次解的特例。

由上式还可以看出，一阶非齐次线性方程的通解$y$可以写成两项之和：

$$y={\mathrm{e}}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\int f(x){\mathrm{e}}^{\int p(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C{\mathrm{e}}^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$$

前者相当于一阶非齐次线性方程解中$C=0$ 的情形，因而它是非齐次方程的一个解；后者是对应的一阶齐次线性方程的通解。一般，我们可以证明，如果$Y(x)$是对应的齐次方程的通解，$y^{\ast }(x)$是原方程的任意一个解，则$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$是非齐次方程的通解，这与线性代数中齐次方程组与非齐次方程组的关系有异曲同工之处。

上面所用的方法，即将对应的齐次方程通解中的任意常数$C$换成待定函数$\mu (x)$，以求得非齐次方程解的方法，叫做“变动任意常数法”。

三、伯努利方程

我们讨论伯努利方程的标准形式：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$

其特点是方程包含非线性项 $y^n$，但可通过变量代换化为线性微分方程。解法核心是通过幂函数变换将方程线性化。

使用“变量代换法”令 $v=y^{1-n}$，则对 $x$ 求导得：

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

然后将方程线性化，将原方程乘以 $(1-n)y^{-n}$：

$$(1-n)y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(1-n)y^{1-n}P(x)=(1-n)Q(x)$$

代入 $v=y^{1-n}$ 和 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ 表达式，方程化简为：

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)$$

应用”积分因子法“构造积分因子 $\mu (x)$：

$$\mu (x)=e^{\int (1-n)P(x)\mathrm{d}x}$$

将方程两边乘以 $\mu (x)$，得到全导数形式：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\mu (x)v]=(1-n)\mu (x)Q(x)$$

对两边积分：

$$\mu (x)v=(1-n)\int \mu (x)Q(x)\mathrm{d}x+C$$

代回原变 量 $y=v^{1/(1-n)}$，得通解：

$$y={\left[e^{-\int (1-n)P(x)\mathrm{d}x}((1-n)\int e^{\int (1-n)P(x)\mathrm{d}x}Q(x)\mathrm{d}x+C)\right]}^{1/(1-n)}$$