一、方差的定义与性质

方差是对随机变量取值离散程度的度量。

离散型随机变量 $X$ 的方差定义为

$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \sum_k (x_k - \mu)^2 p_k $$

连续型随机变量 $X$ 的方差定义为

$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x $$

方差也可表示为

$$ \mathrm{Var}(X) = E\bigl[X^2\bigr] - \bigl(E[X]\bigr)^2 $$

对于相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，有

$$ \mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) $$

方差的单位是随机变量单位的平方。

二、离散型分布方差推导

1、0-1（Bernoulli）分布

设 $X \sim \mathrm{B}(p)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = p(1-p) $$

2、二项分布

设 $X \sim B(n, p)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p) $$

3、超几何分布

设 $X \sim \mathrm{Hypergeometric}(N, K, n)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = n\,\frac{K}{N}\,\frac{N-K}{N}\,\frac{N-n}{\,N-1\,} $$

4、几何分布

设 $X \sim \mathrm{Geometric}(p)$（试验次数形式），则

$$ \mathrm{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} $$

5、帕斯卡（负二项）分布

设 $X \sim \mathrm{NegativeBinomial}(r, p)$（第 $r$ 次成功前的失败次数），则

$$ \mathrm{Var}(X) = \frac{r\,(1-p)}{p^2} $$

6、泊松分布

设 $X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = \lambda $$

三、连续型分布方差推导

1、均匀分布

设 $X \sim U(a, b)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $$

2、正态分布

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = \sigma^2 $$

3、指数分布

设 $X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$，则

$$ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$