一、数学期望的定义与计算方法

1、离散型随机变量

设离散随机变量 $X$ 有可取值 $\{x_i\}$，对应概率 $P(X=x_i)=p_i$。则

$$ E[X] = \sum_i x_i\,p_i. $$

2、连续型随机变量

设连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则

$$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x. $$

二、离散型随机变量的期望推导

1、0–1 分布（Bernoulli 分布）

• 定义：$X\sim\mathrm{B}(p)$，即

  $$ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p. $$

• 数学期望：

  $$ E[X] =0\cdot(1-p)+1\cdot p =p. $$

2、二项分布（Binomial 分布）

• 定义：$X\sim\mathrm{B}(n,p)$，概率质量函数

  $$ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k},\quad k=0,1,\dots,n. $$

• 数学期望：将 $X$ 视为 $n$ 个独立伯努利分布 $\mathrm{B}(p)$ 变量之和，

  $$ E[X]=\sum_{i=1}^n E[X_i]=n\,p. $$

3、超几何分布（Hypergeometric 分布）

• 定义：总体大小为 $N$，其中“成功”数为 $K$，不放回抽取 $n$ 个样本，令 $X$ 为抽中成功的个数，则

  $$ P(X=k) =\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k}}{\binom{N}{n}}. $$

• 数学期望：

  $$ E[X]=n\,\frac{K}{N}. $$

4、几何分布（Geometric 分布）

• 定义：独立重复伯努利试验成功概率为 $p$，令 $X$ 为首次出现成功所需的试验次数，则

  $$ P(X=k)=p\,(1-p)^{\,k-1},\quad k=1,2,\dots. $$

• 数学期望：

  $$ E[X] =\sum_{k=1}^\infty k\,p\,(1-p)^{\,k-1} =\frac{1}{p}. $$

5、帕斯卡分布（Pascal／Negative Binomial 分布）

• 定义：独立伯努利试验成功概率为 $p$，令 $X$ 为获得第 $r$ 次成功所需的试验总次数，则

  $$ P(X=n) =\binom{n-1}{r-1}\,p^r\,(1-p)^{\,n-r},\quad n=r,r+1,\dots. $$

• 数学期望：可视为 $r$ 个几何分布之和，结果为

  $$ E[X]=\frac{r}{p}. $$

6、泊松分布（Poisson 分布）

• 定义：$X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$，

  $$ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\dots. $$

• 数学期望：利用母函数或级数展开，可得

  $$ E[X]=\lambda. $$

三、连续型随机变量的期望推导

1、均匀分布（Uniform 分布）

• 定义：$X\sim U(a,b)$，概率密度

  $$ f(x)=\frac{1}{b-a},\quad a\le x\le b. $$

• 数学期望：

  $$ E[X] =\int_a^b x\,\frac{1}{b-a}\,\mathrm{d}x =\frac{a+b}{2}. $$

2、正态分布（Normal 分布）

• 定义：$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，概率密度

  $$ f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr). $$

• 数学期望：

  $$ E[X]=\mu. $$

3、指数分布（Exponential 分布）

• 定义：$X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$，

  $$ f(x)=\lambda\,e^{-\lambda x},\quad x\ge0. $$

• 数学期望：

  $$ E[X] =\int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\lambda}. $$