伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系,其数学形式为
其中
为流体压强 为流体密度 为流体速度 为高度(或任意参考坐标系中的位移) 为重力加速度
下面给出两种推导方法。
方法一:基于欧拉方程的推导
对于无粘、不可压的理想流体,欧拉方程写为
其中
沿流线方向考虑变化
对任意沿流线的微小位移
,考虑点乘 后有其中
是沿流线的微小弧长。利用流动的无旋性或沿流线分析,可以证明将重力势能引入
重力场满足
,并定义重力势能 。代入上式得整理并积分
将上式除以
并整理可得这意味着沿流线上,上述三个量的和为常数,即
方法二:基于能量守恒的推导
考虑沿流线的一个流体微团,从能量守恒的角度出发,可以证明流体所受的功转换为动能和重力势能的变化。
对流体微团的功
考虑一个在微小位移
内的流体微团,其受到压力的作用做功其中
为压强的微小变化,负号表示由高压区向低压区运动所做的正功。重力势能的变化
由重力势能的变化,有
其中
为垂直高度的微小变化,负号同样对应于重力做功的方向。动能的变化
流体的动能变化为
能量守恒关系
对于稳态流动,外力对流体微团所做的总功必然等于动能和势能的变化,总能量守恒有
将上述等式整理,可得
积分后便得到伯努利方程
以上两种方法均表明,在无粘、不可压、稳态流动中,沿流线都有
这就是伯努利方程的通解形式。
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