伯努利方程

伯努利方程描述了理想流体在稳态、不可压、无粘等条件下沿流线的能量守恒关系,其数学形式为

pρ+v22+gz=常数 ,

其中

  • p 为流体压强
  • ρ 为流体密度
  • v 为流体速度
  • z 为高度(或任意参考坐标系中的位移)
  • g 为重力加速度

下面给出两种推导方法。


方法一:基于欧拉方程的推导

对于无粘、不可压的理想流体,欧拉方程写为

ρDvDt=p+ρg,

其中 DDt 为物质导数,g 为重力加速度向量。对于稳态流动(即各物理量对时间不显含显式变化),沿流线积分可进行如下处理:

  1. 沿流线方向考虑变化

    对任意沿流线的微小位移 dr,考虑点乘 dr 后有

    ρvvds=vpds+ρvgds,

    其中 ds 是沿流线的微小弧长。利用流动的无旋性或沿流线分析,可以证明

    vv=(v22).

  2. 将重力势能引入

    重力场满足 g=Φ,并定义重力势能 Φ=gz。代入上式得

    ρ(v22)=pρΦ.

  3. 整理并积分

    将上式除以 ρ 并整理可得

    (v22+pρ+Φ)=0.

    这意味着沿流线上,上述三个量的和为常数,即

    v22+pρ+gz=常数 .


方法二:基于能量守恒的推导

考虑沿流线的一个流体微团,从能量守恒的角度出发,可以证明流体所受的功转换为动能和重力势能的变化。

  1. 对流体微团的功

    考虑一个在微小位移 ds 内的流体微团,其受到压力的作用做功

    δWp=dpρ,

    其中 dp 为压强的微小变化,负号表示由高压区向低压区运动所做的正功。

  2. 重力势能的变化

    由重力势能的变化,有

    δWg=gdz,

    其中 dz 为垂直高度的微小变化,负号同样对应于重力做功的方向。

  3. 动能的变化

    流体的动能变化为

    d(v22).

  4. 能量守恒关系

    对于稳态流动,外力对流体微团所做的总功必然等于动能和势能的变化,总能量守恒有

    d(v22)=dpρgdz.

    将上述等式整理,可得

    d(v22+pρ+gz)=0.

    积分后便得到伯努利方程

    v22+pρ+gz=常数 .


以上两种方法均表明,在无粘、不可压、稳态流动中,沿流线都有

pρ+v22+gz=常数 .

这就是伯努利方程的通解形式。

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