设 $(X,Y)$ 为二元随机变量，其联合密度函数为 $f_{X,Y}(x,y)$（对于离散变量则讨论概率函数），下列公式给出不同变换函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布推导方法。下面推导过程都假设 $X,Y$ 不是相互独立的，如果独立的话，可以进行下述化简：

$$ F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)+F_Y(y) $$

一、线性变换：$Z=aX+bY$

方法1：变量替换（雅可比变换法）

选择变换

$$ \begin{cases} z = a x + b y,\\[1mm] w = x \quad (\text{或其它与 }z \text{无关的函数}) \end{cases} $$

则反解得

$$ \begin{cases} x = w,\\[1mm] y = \dfrac{z - a w}{b}\quad (b\neq 0). \end{cases} $$

计算雅可比行列式：

$$ J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(z,w)}\right| = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w}\\[1mm] \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 0 & 1 \\[1mm] \frac{1}{b} & -\frac{a}{b} \end{matrix}\right| = \left|\frac{-1}{b}\right|=\frac{1}{|b|}. $$

于是，$Z$ 的边缘密度为

$$ f_Z(z)= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\Bigl(w,\frac{z-a w}{b}\Bigr)\cdot \frac{1}{|b|}\,\mathrm{d}w. $$

类似地，如果 $a\neq 0$ 也可以选择 $w=y$ 得到

$$ f_Z(z)= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\Bigl(\frac{z-b w}{a},w\Bigr)\cdot \frac{1}{|a|}\,\mathrm{d}w. $$

方法2：累积分布函数法

首先给出 $Z$ 的累积分布函数（CDF）表达式

$$ F_Z(z) = P(Z \le z) = P(aX+bY \le z) = \iint\limits_{ax+by \le z} f_{X,Y}(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y. $$

为便于求导，我们固定 $x$ 后，将不等式转换为关于 $y$ 的不等式。
假设 $b>0$，则不等式

$$ ax+by \le z \quad\Longrightarrow\quad y \le \frac{z-ax}{b}. $$

因此，累积分布函数可以写为

$$ F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\frac{z-ax}{b}} f_{X,Y}(x,y)\, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x. $$

对内层积分关于 $z$ 求导，对于固定 $x$，令

$$ G(x,z) = \int_{-\infty}^{\frac{z-ax}{b}} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}y. $$

注意到积分上限 $\displaystyle \frac{z-ax}{b}$ 随 $z$ 变化，根据广义莱布尼兹公式，

$$ \frac{\partial G(x,z)}{\partial z} = f_{X,Y}\left(x,\,\frac{z-ax}{b}\right) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{z-ax}{b}\right) = \frac{1}{b}\, f_{X,Y}\left(x,\,\frac{z-ax}{b}\right). $$

对整体积分关于 $z$ 求导，由于

$$ F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x,z)\,\mathrm{d}x, $$

可将微分运算与积分互换（在适当的正则条件下，即 $f_{X,Y}(x,y)$ 足够光滑、积分绝对收敛），得：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial G(x,z)}{\partial z}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{b} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\left(x,\,\frac{z-ax}{b}\right)\mathrm{d}x. $$

因此， $Z$ 的概率密度函数（PDF）为：

$$ f_Z(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}F_Z(z) = \frac{1}{b}\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}\left(x,\,\frac{z-ax}{b}\right)\mathrm{d}x. $$

二、极值变换：$Z=\max\{X,Y\}$ 与 $Z=\min\{X,Y\}$

1、$Z=\max\{X,Y\}$

方法1：累积分布函数法

显然有

$$ F_Z(z)= P(\max\{X,Y\}\le z) = P(X\le z,\, Y\le z)= \int_{-\infty}^{z}\int_{-\infty}^{z} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$

对 $z$ 求导（注意积分上限依赖于 $z$）可得

$$ f_Z(z)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}F_Z(z)= \int_{-\infty}^{z} f_{X,Y}(z,y)\,\mathrm{d}y + \int_{-\infty}^{z} f_{X,Y}(x,z)\,\mathrm{d}x. $$

方法2：极值概率的分部求导

另一思路是在考虑两个变量中“哪个先达到 $z$”的问题，即对 $X=z$ 或 $Y=z$ 边界的贡献讨论：

$$ f_Z(z)= P(X=z,\, Y\le z)+ P(Y=z,\, X\le z), $$

在连续变量的意义下，上式通过积分变为前面给出的表达式。

2、$Z=\min\{X,Y\}$

方法1：CDF法

注意到

$$ F_Z(z)= P(\min\{X,Y\}\le z)=1-P(\min\{X,Y\}>z)= 1- P(X>z,\, Y>z). $$

因此，

$$ F_Z(z)= 1-\int_z^{\infty}\int_z^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$

对 $z$ 求导利用莱布尼兹公式，

$$ f_Z(z)= \int_{z}^{\infty} f_{X,Y}(z,y)\,\mathrm{d}y + \int_{z}^{\infty} f_{X,Y}(x,z)\,\mathrm{d}x. $$

3. 乘积变换：$Z=X\,Y$

由于乘积变换非线性，常采用变换法讨论连续与离散情况。

(a) $X, Y$ 均连续情况

选择变换

$$ \begin{cases} u = x,\\[1mm] v = x y, \end{cases} $$

则反变换为

$$ \begin{cases} x = u,\\[1mm] y = \dfrac{v}{u}\quad (u\neq 0). \end{cases} $$

计算雅可比行列式：

$$ J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[1mm] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 0 \\[1mm] -\frac{v}{u^2} & \frac{1}{u} \end{matrix}\right| = \frac{1}{|u|}. $$

于是，新联合密度为

$$ f_{U,V}(u,v)= f_{X,Y}\Bigl(u,\frac{v}{u}\Bigr)\cdot \frac{1}{|u|}, $$

进而 $Z=v$ 的边缘密度为

$$ f_Z(z)= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}\, f_{X,Y}\Bigl(x,\frac{z}{x}\Bigr)\,\mathrm{d}x. $$

(b) $X$ 离散，$Y$ 连续情况

设 $X$ 的取值为 $\{x_i\}$，概率为 $P(X=x_i)$，而 $Y$ 的密度为 $f_Y(y)$。

对于固定 $x_i$，有

$$ P(Z \le z \mid X=x_i)= P\Bigl(x_i Y \le z\Bigr)= F_Y\left(\frac{z}{x_i}\right), $$

其中需要根据信号 $x_i$ 的正负适当调整不等式方向。

总体上，

$$ F_Z(z)= \sum_{x_i} P(X=x_i) \, F_Y\left(\frac{z}{x_i}\right). $$

对 $z$ 求导则得到 $Z$ 的混合型密度：

$$ f_Z(z)= \sum_{x_i} P(X=x_i)\cdot \frac{1}{|x_i|}\, f_Y\left(\frac{z}{x_i}\right). $$