在概率论中，卷积公式用于求解两个独立随机变量和的分布。卷积操作提供了一种方法，通过它我们可以计算这两个随机变量的联合效应，通常应用于连续型和离散型随机变量。

一、连续型随机变量的卷积

设 $X$ 和 $Y$ 为两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度函数分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$。那么随机变量 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 为：

$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx. $$

该公式称为卷积公式。其中对 $x$ 的积分表示所有可能的 $X$ 与 $Y$ 的组合，使得 $X + Y = z$。

二、离散型随机变量的卷积

设 $X$ 和 $Y$ 为离散型随机变量，其概率质量函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$。随机变量 $Z = X + Y$ 的概率质量函数 $p_Z(z)$ 可表示为：

$$ p_Z(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} p_X(k) \, p_Y(z-k). $$

这里的求和涵盖了所有可能的取值 $k$，满足 $X=k$ 且 $Y=z-k$ 的组合是 $Z=z$ 的所有可能情形。

三、卷积公式的推导

1、连续型情况

由两个随机变量独立性以及全概率公式可知，$Z$ 的累积分布函数为

$$ F_Z(z) = P(X+Y \le z) = \int_{-\infty}^{+\infty} P(Y \le z-x) \, f_X(x) \, dx. $$

对 $z$ 求导（在满足相关可微条件下）得到密度函数：

$$ f_Z(z) = \frac{d}{dz}F_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(z-x) \, f_X(x) \, dx. $$

2、离散型情况

利用独立性以及全概率公式，我们有

$$ P(Z=z) = \sum_{k} P(X=k, Y=z-k) = \sum_{k} P(X=k) \, P(Y=z-k) = \sum_{k} p_X(k) \, p_Y(z-k). $$

四、卷积公式的性质

• 交换性：
  卷积运算具有交换性，即

  $$ f_X * f_Y = f_Y * f_X. $$

• 结合性：
  对于多个独立随机变量的和，可以任意分组进行卷积计算。
• 单位元：
  在连续型情形下，Dirac 函数 $\delta(x)$ 充当卷积的单位元，即 $f * \delta = f$。

五、总结

卷积公式在概率论中起着重要作用：

• 连续型随机变量：通过卷积积分

  $$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx, $$

  得到和变量的概率密度函数。

• 离散型随机变量：通过离散求和

  $$ p_Z(z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} p_X(k) \, p_Y(z-k), $$

  得到和变量的概率质量函数。

这些公式不仅在求解和变量分布时极为有用，同时也是中央极限定理等重要理论的基础。