在讨论二维函数极限问题时，“重极限”和“累次极限”是两个常见的概念。

一、重极限（双变量极限）

设 $f(x,y)$ 是定义在某区域内的函数，我们说

$$ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = L $$

的含义是：对于任意给定的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当

$$ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta $$

时，有

$$ \bigl|f(x,y)-L\bigr|<\varepsilon. $$

这种定义要求无论 $(x,y)$ 如何趋近于 $(x_0,y_0)$（即任意路径），均能使 $f(x,y)$ 的值离 $L$ 充分近，因此，重极限是对所有趋近路径的统一控制。

二、累次极限（迭代极限）

累次极限指的是先固定其中一个变量求极限，再对另一个变量求极限。以 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 为例，有两种情况：

1、先对 $y$ 求极限，再对 $x$ 求极限

首先，固定 $x$，考虑变量 $y$ 的极限：

$$ g(x)=\lim_{y\to y_0} f(x,y). $$

如果对于所有 $x$ 在某邻域内该极限存在，则再对 $x$ 求极限：

$$ \lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\right). $$

2、先对 $x$ 求极限，再对 $y$ 求极限

同理，固定 $y$，先求

$$ h(y)=\lim_{x\to x_0} f(x,y), $$

然后再求

$$ \lim_{y\to y_0} h(y)=\lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\right). $$

这两种迭代求极限的顺序可能产生不同的结果。

三、重极限与累次极限之间的关系及区别

1、存在性与唯一性

• 重极限存在性:
  若重极限

  $$ \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L $$

  存在，则无论采用哪种路径趋近，都必须趋向于 $L$。

• 累次极限:
  其计算依赖于先后顺序。如果先求的极限与后求的极限分别存在，则我们可以讨论其值。但一般情况下，可能有

  $$ \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\right) \neq \lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\right). $$

2、关系定理

通常有以下结论：

• 如果重极限存在，即

  $$ \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L, $$

  那么两个累次极限均存在且有

  $$ \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0} f(x,y)\right) = \lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0} f(x,y)\right) = L. $$

• 反过来，存在两个累次极限且它们相等不一定意味着重极限存在。也就是说，函数可能沿着某些特殊路径趋向于不同的值，从而使重极限不存在，即使两种迭代顺序下得到相同值。

3、典型反例

考虑函数

$$ f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2},\quad (x,y)\neq (0,0),\quad f(0,0)=0. $$

可以证明：

• 对于任意固定 $x$ 或固定 $y$，累次极限均为 $0$；

• 但当沿路径 $y=kx^2$ 趋近 $(0,0)$ 时，有

  $$ f(x,kx^2)=\frac{k}{1+k^2}, $$

  显然当 $k$ 变化时，趋近值不同，从而重极限不存在。

四、性质总结

• 重极限的性质：

  • 要求函数值在任意趋近路径上都趋向于同一值，因而具有较强的统一性；
  • 在证明极限存在与连续性、函数一致性等问题中起关键作用。

• 累次极限的性质：

  • 依赖于变量变化的先后顺序，计算相对简单但可能遗漏函数在“非直角路径”上的表现；
  • 当两个累次极限不相等时，可以断定重极限不存在；当两者相等时，重极限是否存在还需进一步证明（例如通过构造全局 $\delta$ 证明）。

五、总结

• 重极限 使用欧几里得距离描述 $(x,y)$ 同时趋近于 $(x_0,y_0)$，要求所有趋近路径上的函数值均趋向于同一极限 $L$。
• 累次极限 分两步计算，先对一个变量求极限，再对另一个变量求极限，容易出现顺序依赖的问题。
• 如果重极限存在，则两种累次极限必定存在且相等；反之，累次极限存在且相等并不能保证重极限存在。
• 在具体证明时，选择适当的极限概念尤为重要，要看函数在所有方向上的一致性与连续性。