一、联合分布 (Joint Distribution)

1. 定义

设二维离散型随机变量$(X, Y)$的可能取值为$(x_i, y_j)$，其联合分布律为：
$$ P\{X = x_i, Y = y_j\} = p_{ij}, \quad i,j = 1,2,\cdots $$

2. 性质

• 非负性：$p_{ij} \geq 0$
• 归一性：$\sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} p_{ij} = 1$

3. 表示形式

用表格表示联合分布律：

$$ \begin{array}{|c|cccc|c|} \hline X \backslash Y & y_1 & y_2 & \cdots & y_j & P\{X=x_i\} \\ \hline x_1 & p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1j} & p_1 \\ x_2 & p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2j} & p_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_i & p_{i1} & p_{i2} & \cdots & p_{ij} & p_i \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \hline P\{Y=y_j\} & p_{\cdot 1} & p_{\cdot 2} & \cdots & p_{\cdot j} & 1 \\ \hline \end{array} $$

二、边际分布 (Marginal Distribution)

1. 定义

• $X$的边际分布律：
  $$ P\{X = x_i\} = p_{i\cdot} = \sum_{j=1}^{+\infty} p_{ij}, \quad i = 1,2,\cdots $$
• $Y$的边际分布律：
  $$ P\{Y = y_j\} = p_{\cdot j} = \sum_{i=1}^{+\infty} p_{ij}, \quad j = 1,2,\cdots $$

2. 性质

• 非负性：$p_{i\cdot} \geq 0$，$p_{\cdot j} \geq 0$
• 归一性：$\sum_{i=1}^{+\infty} p_{i\cdot} = 1$，$\sum_{j=1}^{+\infty} p_{\cdot j} = 1$

3. 计算方式

通过联合分布表按行或列求和：

• 行求和：$p_{i\cdot}$为第$i$行所有$p_{ij}$的和
• 列求和：$p_{\cdot j}$为第$j$列所有$p_{ij}$的和

三、条件分布 (Conditional Distribution)

1. 定义

• 给定$Y=y_j$时$X$的条件分布律：
  $$ P\{X = x_i | Y = y_j\} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}, \quad \text{当} \ p_{\cdot j} > 0 $$
• 给定$X=x_i$时$Y$的条件分布律：
  $$ P\{Y = y_j | X = x_i\} = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}, \quad \text{当} \ p_{i\cdot} > 0 $$

2. 性质

• 非负性：$\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} \geq 0$，$\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}} \geq 0$
• 归一性：
  $$ \sum_{i=1}^{+\infty} P\{X = x_i | Y = y_j\} = 1 $$
  $$ \sum_{j=1}^{+\infty} P\{Y = y_j | X = x_i\} = 1 $$

3. 应用场景

• 用于分析在已知某一随机变量取值时，另一变量的概率分布特性