二维离散随机变量的分布

laoguanTX

伤心的人别听慢歌，颓废的人要听战歌。

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117	17	28

一、联合分布 (Joint Distribution)

1. 定义

设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的可能取值为 $(x_{i}, y_{j})$ ，其联合分布律为：
$P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = p_{i j}, i, j = 1, 2, \dots$

2. 性质

非负性： $p_{i j} \geq 0$
归一性： $\sum_{i = 1}^{+ \infty} \sum_{j = 1}^{+ \infty} p_{i j} = 1$

3. 表示形式

用表格表示联合分布律：

$\begin{array}{cccccc} X ∖ Y & y_{1} & y_{2} & \dots & y_{j} & P {X = x_{i}} \\ x_{1} & p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1 j} & p_{1} \\ x_{2} & p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2 j} & p_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ x_{i} & p_{i 1} & p_{i 2} & \dots & p_{i j} & p_{i} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ P {Y = y_{j}} & p_{\cdot 1} & p_{\cdot 2} & \dots & p_{\cdot j} & 1 \end{array}$

二、边际分布 (Marginal Distribution)

1. 定义

$X$ 的边际分布律：
$P {X = x_{i}} = p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{+ \infty} p_{i j}, i = 1, 2, \dots$
$Y$ 的边际分布律：
$P {Y = y_{j}} = p_{\cdot j} = \sum_{i = 1}^{+ \infty} p_{i j}, j = 1, 2, \dots$

2. 性质

非负性： $p_{i \cdot} \geq 0$ ， $p_{\cdot j} \geq 0$
归一性： $\sum_{i = 1}^{+ \infty} p_{i \cdot} = 1$ ， $\sum_{j = 1}^{+ \infty} p_{\cdot j} = 1$

3. 计算方式

通过联合分布表按行或列求和：

行求和： $p_{i \cdot}$ 为第 $i$ 行所有 $p_{i j}$ 的和
列求和： $p_{\cdot j}$ 为第 $j$ 列所有 $p_{i j}$ 的和

三、条件分布 (Conditional Distribution)

1. 定义

给定 $Y = y_{j}$ 时 $X$ 的条件分布律：
$P {X = x_{i} | Y = y_{j}} = \frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, 当 p_{\cdot j} > 0$
给定 $X = x_{i}$ 时 $Y$ 的条件分布律：
$P {Y = y_{j} | X = x_{i}} = \frac{p_{i j}}{p_{i \cdot}}, 当 p_{i \cdot} > 0$

2. 性质

非负性： $\frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}} \geq 0$ ， $\frac{p_{i j}}{p_{i \cdot}} \geq 0$
归一性：
$\sum_{i = 1}^{+ \infty} P {X = x_{i} | Y = y_{j}} = 1$
$\sum_{j = 1}^{+ \infty} P {Y = y_{j} | X = x_{i}} = 1$