一、问题描述

设$X$为随机变量，已知$X$的概率分布，$Y = g(X)$是其函数。需要根据$X$的分布求出$Y$的分布。

二、离散型随机变量

1. 求解步骤

• 步骤1：列出$Y$所有可能取值$\{ y_j = g(x_i) | x_i \in X(\Omega) \}$
• 步骤2：对每个$y_j$，计算概率：
  $$ P(Y=y_j) = \sum_{x_i \in g^{-1}(y_j)} P(X=x_i) $$
  其中$g^{-1}(y_j) = \{ x_i | g(x_i) = y_j \}$

2. 数学证明

设$X$的分布律为$P(X=x_i)=p_i$，则：
$$ P(Y=y_j) = P\left( \bigcup_{x_i \in g^{-1}(y_j)} \{X=x_i\} \right) = \sum_{x_i \in g^{-1}(y_j)} P(X=x_i) $$

三、连续型随机变量

1、分布函数法（通用方法）

求解步骤：

1. 确定$Y$的分布函数：
   $$ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) $$
2. 将事件$\{g(X) \leq y\}$转换为$X$的取值范围
3. 对$f_X(x)$在对应区域积分：
   $$ F_Y(y) = \int_{g(x) \leq y} f_X(x) dx $$
4. 对$F_Y(y)$求导得密度函数：
   $$ f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) $$

2、严格单调函数的公式法

设$g(x)$满足：

• 严格单调
• 可导
• 存在反函数$x = h(y)$

则密度函数公式：

$$ f_Y(y) = \begin{cases} f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|, & y \in g(\mathbb{R}) \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

证明：
设$g(x)$严格递增：
$$ F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \leq h(y)) = F_X(h(y)) $$
求导得：
$$ f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot h'(y) $$

当$g(x)$严格递减时：
$$ F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \geq h(y)) = 1 - F_X(h(y)) $$
求导得：
$$ f_Y(y) = -f_X(h(y)) \cdot h'((y)) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)| $$

四、重要结论

1. 线性变换：$Y = aX + b$
   $$ f_Y(y) = \frac{1}{|a|}f_X\left( \frac{y-b}{a} \right) $$
2. 指数分布：若$X \sim Exp(\lambda)$，则$Y = kX$服从$Exp(\lambda/k)$
3. 正态分布线性性：若$X \sim N(\mu,\sigma^2)$，则$Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$