一、全微分

对于二元函数 $z=f(x,y)$，仅研究一个自变量变化时函数的性态是不够的，经常要讨论两个自变量 $x,y$ 分别有增量 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 时，相应函数值的改变量（即全增量）：

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$$

的变化情况。类似于一元函数的微分，下面以二元函数为例介绍多元函数的全微分。

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若存在常数 $A,B$ 对充分小的 $\mathrm{\Delta }x$ 和 $\mathrm{\Delta }y$ 均有

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )(\rho \to 0)$$

其中 $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微。称 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 处的全微分，记作

$$\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$

由上面定义可知，全微分为全增量 $\mathrm{\Delta }z$ 的主要部分，因其为 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 的线性函数，通常称为线性主部。若 $z=f(x,y)$ 在点 $P$ 处可微，则 $f(x,y)$ 在点 $P$ 处可偏导。

证明：若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则存在常数 $A,B$ 使得
$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\rho )$$
其中 $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$。当 $\mathrm{\Delta }y=0$ 时，
$${\mathrm{\Delta }}_{x}z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$
因此
$$f_x^{\prime }(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=A$$
同样可得
$$f_y^{\prime }(x,y)=B$$

根据上面定理，若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则
$$\mathrm{d}z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y=f_x^{\prime }(x,y)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x,y)\mathrm{\Delta }y$$
特别地，对于函数 $z=x$，有
$$\mathrm{d}z=\mathrm{d}x=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }x$$
类似地，$\mathrm{d}y=\mathrm{\Delta }y$。

根据上面的定理及说明，若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，则
$$\mathrm{d}z=f_x^{\prime }(x,y)\mathrm{d}x+f_y^{\prime }(x,y)\mathrm{d}y$$
或
$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$$

二、多元函数求偏导的链式法则

由于多元函数含多个自变量，其复合结构要比一元函数复杂：我们先介绍二元复合函数的偏导数计算方法，据此可以很容易推广到其他多元复合函数的情况。

设函数 $u=g(x,y)$ 和 $v=h(x,y)$ 定义在$xOy$平面的区域$D_{xy}$上，函数$z=f(u,v)$定义在$uOv$平面的区域$D_{uv}$上，且满足 $\{(u,v)|u=g(x,y),v=h(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}\subset D_{uv}$. 则函数$z=f(u,v)=f(g(x,y),h(x,y)),(x,y)\in D_{xy}$是以$f$为外函数，$g,h$为内函数的复合函数，其中$x,y$为函数$f$的自变量，$u,v$为函数$f$中间变量。

设函数$u=g(x,y)$和$v=h(x,y)$在点$P(x,y)$处偏导数存在，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$处有一阶连续偏导数，则$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$均存在，且

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$

证明：当$\mathrm{\Delta }y=0$时

$${\mathrm{\Delta }}_{z}u=g(x+\mathrm{\Delta }x,y)-g(x,y),{\mathrm{\Delta }}_{x}v=h(x+{\mathrm{\Delta }}_x,y)-h(x,y)$$

由于$z=f(u,v)$有一阶连续偏导数，根据全微分公式，有

$${\mathrm{\Delta }}_{x}z=f_u^{\prime }(u,v){\mathrm{\Delta }}_{x}u+f_v^{\prime }(u,v){\mathrm{\Delta }}_{x}v+(\alpha {\mathrm{\Delta }}_{x}u+\beta {\mathrm{\Delta }}_{x}v)$$
当${\mathrm{\Delta }}_{x}u\to 0,{\mathrm{\Delta }}_{x}v\to 0$时，$\alpha >0,\beta >0$.

当$\mathrm{\Delta }x\to 0$时，${\mathrm{\Delta }}_{x}u\to 0,{\mathrm{\Delta }}_{x}v\to 0$.

所以
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial z}{\partial x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}z}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(f_u^{\prime }\cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}u}{\mathrm{\Delta }x}+f_v^{\prime }\cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}v}{\mathrm{\Delta }x}+\alpha \cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}u}{\mathrm{\Delta }x}+\beta \cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}_{x}v}{\mathrm{\Delta }x})\\ & =f_u^{\prime }\cdot g_x^{\prime }+f_v^{\prime }\cdot h_x^{\prime }\\ & =\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

即：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$
同理可得：
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$
上述给出的复合函数偏导数的计算方法，也称为复合函数偏导数计算的链式法则。