1. 转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量

$$ I = mR^2 $$
推导：
在圆环上取一质元，其质量为 $dm = \lambda dl$，其中 $\lambda = \frac{m}{2\pi R}$ 为线密度，$dl$ 为圆弧元。质元对转轴的元转动惯量为：
$$ dI = R^2 dm = \lambda R^2 dl $$
对整个圆环积分：

$$ I = \int_0^{2\pi R} \lambda R^2 dl = \lambda R^2 \cdot 2\pi R = 2\pi \lambda R^3 $$

代入 $\lambda = \frac{m}{2\pi R}$，得：

$$ I = 2\pi \cdot \frac{m}{2\pi R} \cdot R^3 = mR^2 $$

2. 转轴沿圆环直径的转动惯量

$$ I = \frac{mR^2}{2} $$
推导：
质元质量 $dm = \frac{m}{2\pi} d\theta$（$\theta$ 为质元与转轴的夹角）。质元的转动惯量元为：

$$ dI = (R \sin \theta)^2 dm = \frac{mR^2}{2\pi} \sin^2 \theta d\theta $$

利用三角恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，积分得：

$$ I = \frac{mR^2}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{mR^2}{4\pi} \left[ \int_0^{2\pi} d\theta - \int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta \right] $$

第二项积分 $\int_0^{2\pi} \cos 2\theta d\theta = 0$，故：

$$ I = \frac{mR^2}{4\pi} \cdot 2\pi = \frac{mR^2}{2} $$

3. 转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量

$$ I = \frac{mR^2}{2} $$
推导：
取半径为 $r$、宽度 $dr$ 的细圆环，质量 $dm = 2\pi r \sigma dr$（面密度 $\sigma = \frac{m}{\pi R^2}$）。转动惯量元为：

$$ dI = r^2 dm = 2\pi \sigma r^3 dr $$

积分得：

$$ I = \int_0^R 2\pi \sigma r^3 dr = 2\pi \sigma \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi \sigma R^4}{2} $$

代入 $\sigma = \frac{m}{\pi R^2}$，得：

$$ I = \frac{\pi \cdot \frac{m}{\pi R^2} \cdot R^4}{2} = \frac{mR^2}{2} $$

4. 转轴沿圆筒几何轴的转动惯量

$$ I = \frac{m}{2} (R^2 + r^2) $$
推导：
将圆筒视为由无数同心圆环组成。取半径 $r$ 的元圆筒，质量 $dm = 2\pi \sigma r dr$，转动惯量元为：

$$ dI = r^2 dm = 2\pi \sigma r^3 dr $$

总转动惯量为内外半径积分之差：

$$ I = \int_{r}^{R} 2\pi \sigma r^3 dr = \frac{\pi \sigma}{2} (R^4 - r^4) $$

因 $\sigma = \frac{m}{\pi (R^2 - r^2)}$，代入得：

$$ I = \frac{\pi \cdot \frac{m}{\pi (R^2 - r^2)}}{2} (R^4 - r^4) = \frac{m(R^2 + r^2)}{2} $$

5. 转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量

$$ I = \frac{mR^2}{2} $$
推导：
将圆柱体分解为无数薄圆盘。取厚度为 $dy$ 的微圆盘，质量 $dm = \sigma \pi R^2 dy$（$\sigma$ 为体密度）。薄圆盘的转动惯量元为：

$$ dI = \frac{1}{2} R^2 dm = \frac{1}{2} R^2 \cdot \sigma \pi R^2 dy $$

总转动惯量为：

$$ I = \int_0^L \frac{\sigma \pi R^4}{2} dy = \frac{\sigma \pi R^4 L}{2} $$

因总质量 $m = \sigma \pi R^2 L$，代入得：

$$ I = \frac{mR^2}{2} $$

6. 转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量

$$ I = \frac{mr^2}{4} + \frac{mL^2}{12} $$
推导：
取微细长方体，坐标 $(x, y)$，质量元 $dm = \rho \cdot 2z \cdot dx dy$（$z = r \sin \theta$）。转动惯量元为：

$$ dI = (x^2 + y^2) dm = \rho \cdot 2r \sin \theta \cdot (x^2 + y^2) dx dy $$

转换为极坐标：$x = r \cos \theta$，积分得：

$$ I = \rho \int_{-L/2}^{L/2} \int_0^{2\pi} r^3 \sin \theta (\cos^2 \theta + y^2) d\theta dy $$

分离积分并计算，最终结果为：

$$ I = \frac{mr^2}{4} + \frac{mL^2}{12} $$

7. 转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量

$$ I = \frac{ml^2}{12} $$
推导：
取质元 $dm = \lambda dx$（线密度 $\lambda = \frac{m}{l}$），距转轴距离为 $x$。转动惯量元为：

$$ dI = x^2 dm = \lambda x^2 dx $$

积分区间为 $-l/2$ 到 $l/2$：

$$ I = \lambda \int_{-l/2}^{l/2} x^2 dx = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-l/2}^{l/2} = \frac{\lambda l^3}{12} $$

代入 $\lambda = \frac{m}{l}$，得：

$$ I = \frac{ml^2}{12} $$

8. 转轴通过细棒端点与棒垂直的转动惯量

$$ I = \frac{ml^2}{3} $$
推导：
积分区间改为 $0$ 到 $l$，转动惯量元相同：

$$ I = \lambda \int_0^l x^2 dx = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^l = \frac{\lambda l^3}{3} $$

代入 $\lambda = \frac{m}{l}$，得：

$$ I = \frac{ml^2}{3} $$

9. 转轴通过球体沿直径的转动惯量

$$ I = \frac{2mr^2}{5} $$
推导：
将球体分解为薄圆盘。取距球心 $z$ 处厚度 $dz$ 的圆盘，半径 $R_g = \sqrt{r^2 - z^2}$，质量 $dm = \rho \pi R_g^2 dz$。圆盘转动惯量元为：

$$ dI = \frac{1}{2} R_g^2 dm = \frac{\rho \pi}{2} (r^2 - z^2)^2 dz $$

总转动惯量为：

$$ I = \frac{\rho \pi}{2} \int_{-r}^r (r^2 - z^2)^2 dz $$

展开积分并计算，结合总质量 $m = \frac{4}{3}\pi \rho r^3$，得：

$$ I = \frac{2mr^2}{5} $$

10. 转轴沿球壳直径的转动惯量

$$ I = \frac{2mr^2}{3} $$
推导：
取圆心角 $d\theta$ 的圆环，半径 $R_g = r \sin \theta$，质量元 $dm = \sigma \cdot 2\pi r \sin \theta \cdot r d\theta$（面密度 $\sigma = \frac{m}{4\pi r^2}$）。转动惯量元为：

$$ dI = R_g^2 dm = 2\pi \sigma r^4 \sin^3 \theta d\theta $$

积分得：

$$ I = 2\pi \sigma r^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta d\theta = \frac{8\pi \sigma r^4}{3} $$

代入 $\sigma = \frac{m}{4\pi r^2}$，得：

$$ I = \frac{2mr^2}{3} $$

11. 转轴沿底面是正方形的长方体的几何轴的转动惯量

$$ I = \frac{mL^2}{6} $$
推导：
取微元 $dm = \rho h dx dy$，转动半径 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。转动惯量元为：

$$ dI = (x^2 + y^2) dm = \rho h (x^2 + y^2) dx dy $$

在 $[-L/2, L/2] \times [-L/2, L/2]$ 区域积分：

$$ I = \rho h \int_{-L/2}^{L/2} \int_{-L/2}^{L/2} (x^2 + y^2) dx dy = \rho h \cdot \frac{L^4}{6} $$

代入总质量 $m = \rho h L^2$，得：

$$ I = \frac{mL^2}{6} $$

12. 转轴沿圆盘直径的转动惯量

$$ I = \frac{mr^2}{4} $$
推导：
取宽度 $dz$ 的长条，长度 $2\sqrt{r^2 - z^2}$，质量元 $dm = \sigma \cdot 2\sqrt{r^2 - z^2} dz$。转动惯量元为：

$$ dI = \int_{-R_g}^{R_g} x^2 \cdot \sigma dx dz = \frac{4\sigma}{3} (r^2 - z^2)^{3/2} dz $$

总转动惯量：

$$ I = \frac{4\sigma}{3} \int_{-r}^r (r^2 - z^2)^{3/2} dz = \frac{\sigma \pi r^4}{4} $$

代入 $\sigma = \frac{m}{\pi r^2}$，得：

$$ I = \frac{mr^2}{4} $$