一、抛体运动

1. 运动分解与受力分析

假设条件：忽略空气阻力，仅受重力 $\vec{F} = -mg\hat{j}$，初速度 $\vec{v}_0 = v_0 \cos\theta_0 \hat{i} + v_0 \sin\theta_0 \hat{j}$。

牛顿第二定律

$$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -g\hat{j} $$

2. 速度与位移公式推导

水平方向（$x$ 轴）：匀速运动

• 速度：$v_x = v_0 \cos\theta_0$

• 位移：

  $$ x(t) = v_0 \cos\theta_0 \cdot t $$

竖直方向（$y$ 轴）：匀加速运动

• 速度：

  $$ v_y(t) = v_0 \sin\theta_0 - gt $$

• 位移：

  $$ y(t) = y_0 + v_0 \sin\theta_0 \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 $$

3. 轨迹方程推导

消去时间 $t$，由 $t = \frac{x}{v_0 \cos\theta_0}$，代入 $y(t)$：

$$ y = y_0 + \tan\theta_0 \cdot x - \frac{g}{2(v_0 \cos\theta_0)^2} x^2 $$

4. 水平射程公式推导

当抛体落地时 $y = y_0$，解方程：

$$ 0 = \tan\theta_0 \cdot R - \frac{gR^2}{2(v_0 \cos\theta_0)^2} $$

解得：

$$ R = \frac{v_0^2}{g} \sin2\theta_0 $$

二、圆周运动

1. 匀速圆周运动

位置矢量参数化

质点绕圆心做半径为 $r$ 的圆周运动，角速度 $\omega$ 恒定：

$$ \vec{r}(t) = r\cos(\omega t) \hat{i} + r\sin(\omega t) \hat{j} $$

速度矢量

对 $\vec{r}(t)$ 求导：

$$ \vec{v}(t) = -r\omega \sin(\omega t) \hat{i} + r\omega \cos(\omega t) \hat{j} $$

速度大小：

$$ v = r\omega $$

方向沿切向单位向量 $\hat{u}_\phi = -\sin(\omega t)\hat{i} + \cos(\omega t)\hat{j}$。

向心加速度

对 $\vec{v}(t)$ 求导：

$$ \vec{a}(t) = -r\omega^2 \cos(\omega t)\hat{i} - r\omega^2 \sin(\omega t)\hat{j} = -\omega^2 \vec{r}(t) $$

表明加速度方向指向圆心，大小为：

$$ a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 $$

2. 变速圆周运动

总加速度分解

当角速度 $\omega(t)$ 随时间变化时，加速度包含：

1. 法向加速度（向心加速度）：由速度方向变化引起

   $$ a_n = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 $$

2. 切向加速度：由速度大小变化引起

   $$ a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = r \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = r\alpha $$

加速度矢量表达式

总加速度为法向和切向分量的矢量和：

$$ \vec{a} = a_t \hat{u}_\phi + a_n (-\hat{u}_r) = r\alpha \hat{u}_\phi - r\omega^2 \hat{u}_r $$

推导过程

1. 参数化运动
   设角速度 $\omega(t)$ 随时间变化，角加速度 $\alpha = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$，位置矢量为：

   $$ \vec{r}(t) = r\cos\theta(t)\hat{i} + r\sin\theta(t)\hat{j} $$

   其中 $\theta(t) = \int \omega(t) dt + \theta_0$。

2. 速度矢量
   对 $\vec{r}(t)$ 求导：

   $$ \vec{v}(t) = -r\omega \sin\theta \hat{i} + r\omega \cos\theta \hat{j} + r \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} t \left(-\sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j}\right) $$

   第二项因 $\alpha \neq 0$ 产生切向加速度。

3. 加速度矢量
   对 $\vec{v}(t)$ 求导并化简：

   $$ \vec{a}(t) = -r\omega^2 \cos\theta \hat{i} - r\omega^2 \sin\theta \hat{j} + r\alpha \left(-\sin\theta \hat{i} + \cos\theta \hat{j}\right) $$

   分解为法向和切向分量：

   $$ \vec{a} = -\frac{v^2}{r} \hat{u}_r + \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \hat{u}_\phi $$

注：

• 抛体运动轨迹为抛物线，水平射程由初速度和角度决定。
• 匀速圆周运动仅有向心加速度；变速圆周运动需同时考虑切向和法向加速度。