在平面极坐标系中，质点的位置由径向坐标 $r$ 和角坐标 $θ$ 描述。

一、位置矢量

位置矢量 $\mathbf{r}$ 在极坐标系中表示为：

$$ \mathbf{r} = r \hat{r} $$

其中，$\hat{r}$ 是径向单位矢量。

二、速度矢量

速度 $\mathbf{v}$ 是位置矢量的时间导数：

$$ \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r \hat{r}) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \hat{r} + r \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} $$

由于 $\hat{r}$ 随 $\theta$ 变化，其导数为：（推导过程见“五”）

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \hat{\theta} = \dot{\theta} \hat{\theta} $$

其中，$\hat{\theta}$ 是横向单位矢量。因此，速度矢量为：

$$ \mathbf{v} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta} $$

其中，$\dot{r} = \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ 是径向速度，$r \dot{\theta} = r \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 是横向速度。

三、加速度矢量

加速度 $\mathbf{a}$ 是速度矢量的时间导数：

$$ \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}) $$

展开后得到：

$$ \mathbf{a} = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + r \ddot{\theta} \hat{\theta} + r \dot{\theta} \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} $$

单位矢量 $\hat{\theta}$ 的导数为：（推导过程见“五”）

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta} \hat{r} $$

代入后，加速度矢量为：

$$ \mathbf{a} = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + r \ddot{\theta} \hat{\theta} - r \dot{\theta}^2 \hat{r} $$

整理后得到：

$$ \mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{r} + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}) \hat{\theta} $$

其中：

• 径向加速度为 $\ddot{r} - r \dot{\theta}^2$，
• 横向加速度为 $r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}$。

四、总结

• 速度：

  $$ \mathbf{v} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta} $$

• 加速度：

  $$ \mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{r} + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}) \hat{\theta} $$

​ 特别地，当径向速度为0时，横向加速度为0时（即做匀速圆周运动），可以得到：

$$ \mathbf{a}=r\dot\theta^2=\dfrac{\mathbf{v}^2}{r} $$

五、补充证明

在直角坐标系中，极坐标的单位矢量 $\hat{r}$ 和 $\hat{\theta}$ 可以表示为：

$$ \hat{r} = \cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j} $$

$$ \hat{\theta} = -\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j} $$

其中，$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 是直角坐标系的单位矢量。

1. 对 $\hat{r}$ 求导数

对 $\hat{r}$ 关于时间 $t$ 求导：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j}) $$

利用链式法则，得到：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = -\sin\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \, \hat{i} + \cos\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \, \hat{j} $$

将 $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$ 代入，得到：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} (-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j}) $$

注意到 $-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j} = \hat{\theta}$，因此：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} \hat{\theta} $$

2. 对 $\hat{\theta}$ 求导数

对 $\hat{\theta}$ 关于时间 $t$ 求导：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (-\sin\theta \, \hat{i} + \cos\theta \, \hat{j}) $$

利用链式法则，得到：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\cos\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \, \hat{i} - \sin\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \, \hat{j} $$

将 $\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$ 代入，得到：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} (-\cos\theta \, \hat{i} - \sin\theta \, \hat{j}) $$

注意到 $-\cos\theta \, \hat{i} - \sin\theta \, \hat{j} = -\hat{r}$，因此：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta} \hat{r} $$

综上，通过直角坐标系的视角和三角函数的表示，我们证明了：

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta} \hat{\theta} $$

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{\theta}}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta} \hat{r} $$

另一种更加直观的方法是画出在极短时间内质点在极坐标系内位置的变化图像，可以直接得到相应结论。