指数函数 ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯正弦函数 sinx=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−⋯余弦函数 cosx=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22!+x44!−⋯正切函数 tanx=∑n=1∞B2n(−4)n(1−4n)(2n)!x2n−1=x+x33+2x515+17x7315+⋯(|x|<π2) 其中 B2n 是伯努利数。自然对数函数 ln(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn=x−x22+x33−⋯(|x|<1)几何级数 11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯(|x|<1)分数函数 11+x 11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯(|x|<1)二项式展开 (1+x)k=∑n=0∞(kn)xn=1+kx+k(k−1)2!x2+⋯(|x|<1)反正切函数 arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=x−x33+x55−⋯(|x|≤1)双曲正弦函数 sinhx=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!=x+x33!+x55!+⋯双曲余弦函数 coshx=∑n=0∞x2n(2n)!=1+x22!+x44!+⋯
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