常见麦克劳林展开

指数函数
$e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$
正弦函数
$\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$
余弦函数
$\cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$
正切函数
$\tan x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2 n} (- 4)^{n} (1 - 4^{n})}{(2 n)!} x^{2 n - 1} = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} + \dots (| x | < \frac{π}{2})$
其中 $B_{2 n}$ 是伯努利数。
自然对数函数
$\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1} x^{n}}{n} = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots (| x | < 1)$
几何级数
$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots (| x | < 1)$
分数函数 $\frac{1}{1 + x}$
$\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots (| x | < 1)$
二项式展开
$(1 + x)^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{k}{n}) x^{n} = 1 + k x + \frac{k (k - 1)}{2!} x^{2} + \dots (| x | < 1)$
反正切函数
$\arctan x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{2 n + 1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \dots (| x | \leq 1)$
双曲正弦函数
$\sinh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots$
双曲余弦函数
$\cosh x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots$