一、第一类反常积分定义

设函数$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$上连续，于是对于任意$t>a$，积分${\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\mathrm{\infty })$上的反常积分（或第一类反常积分）
同样地，设函数$f(x)$在区间$(-\mathrm{\infty },b]$上连续，于是对于任意$t<b$，积分${\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$存在，它是$t$的函数，称记号

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

为函数$f(x)$在无穷区间$(-\mathrm{\infty },b]$上的反常积分（或第一类反常积分）
若上面两式右边极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散。
设$f(x)$在$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$上连续，记号

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$

只有等式右边两个积分都收敛，才称反常积分收敛。也可知该反常积分的收敛与否和收敛时的值，与$a$的选取无关。

二、第二类反常积分

设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$（称点$a$为瑕点）。于是，任给$\epsilon >0$且$\epsilon <b-a$，${\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$均存在，它是$\epsilon$的函数，称记号

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

为无界函数$f(x)$在$[a,b]$上的反常积分（第二类反常积分）
同样地，设函数$f(x)$在区间$[a,b)$上连续，$\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$（称点$b$为瑕点）。于是，任给$\epsilon >0$且$\epsilon <b-a$，${\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x$均存在，它是$\epsilon$的函数，称记号

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x$$

为无界函数$f(x)$在$[a,b]$上的反常积分（第二类反常积分）
设$f(x)$在 $[a,c)\cup (c,b]$上连续，$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$称点$x$为瑕点），称记号

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\stackrel{\text{def}}{=}{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

只有等式右边两个积分都收敛，才称反常积分收敛。也可知该反常积分的收敛与否和收敛时的值。

二、常见反常积分

1、第一$p$反常积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a^{1-p}}{p-1}},p>1\\ +\mathrm{\infty },p<1\end{array}$$

2、第二$p$反常积分

$${\int }_a^b{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{(b-x{)}^p}}=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}},p<1\\ +\mathrm{\infty },p\ge 1\end{array}$$

3、$\mathrm{\Gamma }$函数

$\mathrm{\Gamma }$函数的定义式：

$$\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x(s>0)$$

$\mathrm{\Gamma }$函数的性质：

$$\mathrm{\Gamma }(s+1)=s\mathrm{\Gamma }(s)s>0$$

$$\mathrm{\Gamma }(1)=1$$

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$$

$$\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(1-s)={\displaystyle \frac{\pi }{\sin \pi s}}$$

$\mathrm{\Gamma }$函数定义域的扩展：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Gamma }(s)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{s}}-1<s<0\\ & \mathrm{\Gamma }(s)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(s+1)}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(s+2)}{s(s+1)}}-2<s<-1\end{array}$$