比例的基本性质和主要变形：

对于比例$\frac ab=\frac cd$，其中$a,b,c,d$ 均不为零，则有：

1. 更比定理：$\frac ac=\frac bd$或$\frac db=\frac ca$。
2. 反比定理：$\frac ba=\frac dc$。
3. 合比定理：$\frac {a+b}b=\frac{c+d}d$或$\frac a{a+b}=\frac c{c+d}$。
4. 分比定理：$\frac{a-b}b=\frac{c-d}d$或$\frac a{a-b}=\frac c{c-d}$
5. 合分比定理：$\frac {a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。
6. 等比定理：若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$，则$\frac {la_1+ma_2+\cdots+ta_n}{lb_1+mb_2+\cdots+tb_n}=\frac{a_1}{b_1}$

同角三角函数的基本关系式：

$$\sin ^{2}\theta + \cos ^{2}\theta = 1$$
$$1+ \tan ^{2}\theta = \sec ^{2}\theta$$
$$1+ \cot ^{2}\theta = \csc ^{2}\theta$$
$$\tan \theta _{= }\frac {\sin \theta }{\cos \theta }$$
$$\cot \theta = \frac {\cos \theta }{\sin \theta }$$

和角、差角、和差化积公式

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$$
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$$
$$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cdot\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\sin\frac{\alpha-\beta}2$$

二倍角公式及降幂公式

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$$

$$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha=\frac{1-\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}$$

$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$$

$$\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$$

$$\tan\alpha=\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\frac{1-\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$$