数列极限

1. $\lim _{n\to + \infty }a_n= a$ （存在），当$n>N$时恒有$|a_n-a|<\varepsilon$。
2. $\lim_{n\to+\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$|a_n|>M$。
3. $\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$a_n>M$。
4. $\lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists N\in Z^+$，当$n>N$时恒有$a_n<-M$。

函数极限

1. $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$。
2. $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$。
3. $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0-\delta,x_0)$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$。
4. $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时恒有$|f(x)|>M$。
5. $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时恒有$f(x)>M$。
6. $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时恒有$f(x)<-M$。
7. $\lim_{\cdot x\to x_0^+}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时恒有$|f(x)|>M$。
8. $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时恒有$f(x)>M$。
9. $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0,x_0+\delta)$时恒有$f(x)<-M$。
10. $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0-\delta,x_0)$时恒有$|f(x)|>M$。
11. $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0-\delta,x_0)$时恒有$f(x)>M$。
12. $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists\delta>0$，当$x\in(x_0-\delta,x_0)$时恒有$f(x)<-M$。
13. $\lim_{x\to\infty}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$，当$|x|>X$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$。
14. $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$，当$x>X$时恒有$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$。
15. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$（存在）$\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0$，当$x<-X$时恒有$|f(x)-A|<\varepsilon$。
16. $\lim _{x\to \infty }f( x) = \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$，当$|x| > X$ 时恒有$|f(x)|>M$。
17. $\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$，当$|x|>X$时恒有$f(x)>M$。
18. $\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$，当$|x|>X$时恒有$f(x)<-M$。
19. $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$，当$x>X$时恒有$|f(x)|>M$。
20. $\lim _{x\to + \infty }f( x) = + \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$，当$x> X$ 时恒有$f(x)>M$。
21. $\lim _{x\to + \infty }f( x) = - \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$，当 $x> X$时恒有$f(x)<-M$。
22. $\lim _{x\to - \infty }f( x) = \infty \Leftrightarrow \forall M> 0, \exists X> 0$，当 $x< - X$时恒有$|f(x)|>M$。
23. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$，当$x<-X$时恒有$f(x)>M$。
24. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\Leftrightarrow\forall M>0,\exists X>0$，当$x<-X$时恒有$f(x)<-M$。