一、多元线性方程组的求解与解的性质

1. 线性方程组存在三种解的情况：

   1. 无解
   2. 无数解
   3. 唯一解

   判断法则：秩。

2. 判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。

二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面

我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线（$y^2=2px$），椭圆（圆）（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$），双曲线（$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$），两条直线。二次曲线的一般形式为（$Ax^2+Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，其中大写字母为实数常数）。

然后我们尝试推广到$n$个未知量的情况，当$n=3$时，称为是二次曲面，当$n\geq4$时，称为是二次超曲面，它们的通用表达式为：

$$### 一、多元线性方程组的求解与解的性质

1. 线性方程组存在三种解的情况：

   1. 无解
   2. 无数解
   3. 唯一解

   判断法则：秩。

2. 判断无穷多解的情况，需要找到无穷多解的“本质”，本质便是找到个数唯一确定的有限多个解。

二、二次曲线、二次曲面与二次超曲面

我们在中学中学习过二次曲线包括抛物线（$y^2=2px$），椭圆（圆）（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$），双曲线（$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$），两条直线。二次曲线的一般形式为（$Ax^2+Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，其中大写字母为实数常数）。

然后我们尝试推广到$n$个未知量的情况，当$n=3$时，称为是二次曲面，当$n\geq4$时，称为是二次超曲面，它们的通用表达式为：

$$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\sum_i^nb_ix_i+c=0\\=&a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+2a_{1n}x_{1}x_{n}\\&+2a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}&\\&\qquad\quad\vdots\\&+a_{nn}x_{n}^{2}\\&+2\sum_i^nb_ix_i+c=0\end{aligned}$$

其中$x_ix_j(i\neq j)$的项可以通过旋转消除。然后通过配方法平移得到标准方程。

三、一元高次方程的求解

一到四次一元方程均有求根公式，而伽罗瓦用“群论”证明了一元五次方程没有求根公式。

其中$x_ix_j(i\neq j)$的项可以通过旋转消除。然后通过配方法平移得到标准方程。

三、一元高次方程的求解

一到四次一元方程均有求根公式，而伽罗瓦用“群论”证明了一元五次方程没有求根公式。