一、函数的概念

1. 设$X\subset\mathbb{R}$为实数集。如果对于任一元素$x\in X$ ,都存在唯一的$y\in\mathbb{R}$按照对应法则$f$与之对应，则称$f:X\to\mathbb{R}$为一元实值函数，或一元函数、函数，记为$y=f(x)$.
2. 函数$f$的定义域：$D(f)=X$
   函数$f$的值域：$R(f)=f(X)$
   函数$f$的图像：$G(f)=\{(x,y)|y=f(x),x\in X\}$

二、函数的构成/生成

1. 四则运算：$f\pm g$、$fg$、$\frac fg$
2. 复合运算：$g\circ f:=g(f(x))$
3. 反函数运算：给定函数$y=f(x)$是实数集$A$与$B$之间的一一映射，如果对于任意的$y\in B$ ,都存在唯一的$x\in A$通过关系式$y=f(x)$与之对应 ,那么就称该对应为函数$y=f(x)$的反函数，记为$f^{-1}.$
   $$f(f^{-1}(y))=y,\quad\forall y\in B\quad f^{-1}(f(x))=x,\quad\forall x\in A$$

三、函数的有界性

1. 定义：设$f:I\rightarrow\mathbb{R}$.如果$f$的值域有上界，则称函数$f$在$l$上有上界；即存在常数$A$，使得对于任意的$x\in I$，有$f(x)\leq A$.如果$f$的值域有下界，则称函数$f$在 $l$上有下界；即存在常数$B$,使得对于任意的$x\in I$，有 $f(x)\geq B$.既有上界又有下界的函数称为有界函数。
2. $f$在$l$上有界的充要条件是$\exists M>0,\forall x\in I,|f(x)|\leq M$.
3. 如果$f$在$l$上不是有界函数，则称$f$在$I$上无界。$f$在$I$上无界等价于对于任意的$M$，都不是的一个界。$f$在$I$上无界的充要条件$\forall M>0,\exists x_0\in I,|f(x_0)|>M$.

例1 证明：函数$f(x)= \frac 1x\sin \frac 1x$在区间$(0,1]$上无界。

证明 $\forall M>0$，选取正整数$n_0>M$以及$x_0=\frac1{2n_0\pi+\frac\pi2}\in(0,1]$，于是有：
$$f(x_0)=(2n_0\pi+\frac\pi2)\sin(2n_0\pi+\frac\pi2)=2n_0\pi+\frac\pi2>M$$

四、单调函数的基本性质

1. 定义设$f:I\rightarrow\mathbb{R}$.
   如果$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2$，有 $f(x_1)(<)\leq f(x_2)$，则称$f$在$I$上(严格)单调递增。
   如果$\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2$，有$f(x_1)(>)\geq f(x_2)$，则称$f$在$l$上(严格)单调递减。
2. 单调函数必存在反函数，且反函数的单调性与原函数相同。有限多个单调递增函数的和仍为单调函数。（四则运算）
3. 若递减函数$y=f(u)$定义在$D$上，$u=f(x)$在$I$上递增，则$y=f(g(x))$在$I$上递减。（同增异减）

例3 考虑函数$f(x)=\begin{cases}x&x\in[0,1]\cap\mathbb{Q}\\1-x&x\in[0,1]\setminus\mathbb{Q}\end{cases}$

结论 该函数的反函数就是本身,且在任意区间$I\in[0,1]$上都不是单调的。

五、函数的奇偶性和单调性

1、奇偶性

例4 设函数$f(x)$是区间$l$上的奇函数且有反函数，证明：该函数的反函数也是奇函数。

证明

$$f^{-1}(-f(x))=f^{-1}(f(-x))=-x=-f^{-1}(f(x))$$

这就说明：$\forall y\in f(I),f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$.

2、周期性

例5 设函数$f(x)$是$\mathbb{R}$上的周期函数，且$T>0$为其最小正周期。证明：若对于任意的$x\in(0,T),f(x)\neq f(0)$，则$g(x)=f(x^2)$不是周期函数。

证明 （反证法）设$g(x)$是周期函数，周期为$T_1$，则有：
$$f((x+T_1)^2)=g(x+T_1)=g(x)=f(x^2),\forall x\in\mathbb{R}$$
令$x=0$，可得$f( T_1^2) = f( 0)$.则存在自然数$n$，使得$T_1^2= nT$，即$T_1=\sqrt{nT}$.
再令$x= \sqrt {( n+ 1) T}$，可得$f( ( \sqrt {( n+ 1) T}+ \sqrt {nT}) ^2) = g( \sqrt {( n+ 1) T}+ T_1) = f( ( n+ 1) T) = f( 0) .$
由此可得$f(2\sqrt {n( n+ 1) }T) = f( 0)$.因此，存在一个自然数$m$，使得$2\sqrt {n( n+ 1) }T= mT\Rightarrow n( n+ 1) = ( \frac m2) ^2$.这说明$\frac m2$是自然数，且$n< \frac m2<n+ 1$.
矛盾，所以$g(x)=f(x^2)$不是周期函数。