一、常见积分表

二、详细证明

下面对上述表格中的部分积分公式进行详细推导。其余积分的推导可类似进行。

1. 幂函数积分

$$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$

证明：

对$x^n$积分，设$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$，则

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n$$

因此，

$$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

2. $\int \mathrm{d}x=x+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1$$

故积分结果为$x+C$。

3. $\int a\mathrm{d}x=ax+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(ax)=a$$

故积分结果为$ax+C$。

4. $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$

$$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln |x|=\frac{1}{x}$，故直接得证。

5. $\int e^x\mathrm{d}x$

$$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=e^x$，故直接得证。

6. $\int a^x\mathrm{d}x$

$$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C,(a>0,a\ne 1)$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{a}^x=a^x\ln a$，于是

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)=a^x$$

7. $\int \sin x\mathrm{d}x$

$$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\cos x)=\sin x$

8. $\int \cos x\mathrm{d}x$

$$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x)=\cos x$

9. $\int \tan x\mathrm{d}x$

$$\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C$$

证明：

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

令$u=\cos x$，$\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x⟹-\mathrm{d}u=\sin x\mathrm{d}x$

$$\int \tan x\mathrm{d}x=\int \frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x$$

令$u=\cos x$，则$\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x$，所以

$$\int \tan x\mathrm{d}x=-\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C$$

10. $\int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C$

证明：

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$，令$u=\sin x$，$\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{d}x$，则

$$\int \cot x\mathrm{d}x=\int \frac{\cos x}{\sin x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=\ln |u|+C=\ln |\sin x|+C$$

11. $\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

证明：

考虑分子分母同乘$\sec x+\tan x$：

$$\int \sec x\mathrm{d}x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}x=\int \frac{{\sec }^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}\mathrm{d}x$$

令$u=\sec x+\tan x$，则

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\sec x\tan x+{\sec }^{2}x={\sec }^{2}x+\sec x\tan x$$

所以

$$\int \sec x\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=\ln |u|+C=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

12. $\int \csc x\mathrm{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

证明：

分子分母同乘$\csc x-\cot x$：

$$\int \csc x\mathrm{d}x=\int \frac{\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}\mathrm{d}x=\int \frac{{\csc }^{2}x-\csc x\cot x}{\csc x-\cot x}\mathrm{d}x$$

令$u=\csc x-\cot x$，则

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\csc x\cot x+{\csc }^{2}x={\csc }^{2}x-\csc x\cot x$$

所以

$$\int \csc x\mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=\ln |u|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

13. $\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x={\sec }^{2}x$$

14. $\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\cot x)={\csc }^{2}x$$

15. $\int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x=\sec x\tan x$$

16. $\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C$

证明：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-\csc x)=\csc x\cot x$$

17. $\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$

$$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

18. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

19. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C$

证明：

令$x=\cosh t$，$\mathrm{d}x=\sinh t\mathrm{d}t$，$\sqrt{x^2-1}=\sinh t$。

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{\sinh t}\sinh t\mathrm{d}t=\int 1\mathrm{d}t=t+C$$

又$x=\cosh t⟹t=\mathrm{arcosh}x=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C$$

20. $\int \ln x\mathrm{d}x$

分部积分法，令$u=\ln x$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$，$v=x$

$$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x=x\ln x-\int 1\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$$

21. $\int x{e}^x\mathrm{d}x=(x-1)e^x+C$

证明：

分部积分，$u=x$, $\mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$, $v=e^x$

$$\int x{e}^x\mathrm{d}x=x{e}^x-\int e^x\mathrm{d}x=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$$

22. $\int x\sin x\mathrm{d}x$

分部积分法，令$u=x$，$\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=-\cos x$

$$\int x\sin x\mathrm{d}x=-x\cos x+\int \cos x\mathrm{d}x=-x\cos x+\sin x+C$$

23. $\int x\cos x\mathrm{d}x$

分部积分法，令$u=x$，$\mathrm{d}v=\cos x\mathrm{d}x$，则$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，$v=\sin x$

$$\int x\cos x\mathrm{d}x=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x+C$$

24. $\int e^{ax}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$

证明：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^{ax}=a{e}^{ax}$，所以

$$\int e^{ax}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$$

25. $\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x$

令$x=a\tan \theta$，则$\mathrm{d}x=a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta$，$a^2+x^2=a^2+a^2{\tan }^2\theta =a^2{\sec }^2\theta$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{a^2{\sec }^2\theta }a{\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta =\int \frac{1}{a}\mathrm{d}\theta =\frac{1}{a}\theta +C$$

又$x=a\tan \theta ⟹\theta =\arctan \left(\frac{x}{a}\right)$

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$$

26. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x$

令$x=a\sin \theta$，$\mathrm{d}x=a\cos \theta \mathrm{d}\theta$，$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{a\cos \theta }a\cos \theta \mathrm{d}\theta =\int 1\mathrm{d}\theta =\theta +C$$

又$x=a\sin \theta ⟹\theta =\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C$$

27. $\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x$

可拆分为部分分式：

$$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})$$

所以

$$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$

28. $\int \frac{1}{|x|}\mathrm{d}x=\mathrm{sgn}(x)\ln |x|+C$

证明：

$\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}$ (当$x>0$), $=-\frac{1}{x}$ (当$x<0$)
所以

$$\int \frac{1}{|x|}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\ln x+C,& x>0\\ -\ln (-x)+C,& x<0\end{array}$$

合并表示为$\mathrm{sgn}(x)\ln |x|+C$

29. $\int \arctan x\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

证明：
分部积分，$u=\arctan x$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$, $v=x$

$$\int \arctan x\mathrm{d}x=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

令$w=1+x^2$, $\mathrm{d}w=2x\mathrm{d}x$

$$\int \frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{1}{w}\mathrm{d}w=\frac{1}{2}\ln |w|+C=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$$

所以

$$\int \arctan x\mathrm{d}x=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$

30. $\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

证明：

分部积分，$u=\arcsin x$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}u=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$, $v=x$

$$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x-\int x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$$

对于$\int x(1-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}x$，令$w=1-x^2$, $\mathrm{d}w=-2x\mathrm{d}x⟹-\frac{1}{2}\mathrm{d}w=x\mathrm{d}x$

$$\int x(1-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\mathrm{d}w=-\frac{1}{2}\cdot 2w^{1/2}=-\sqrt{1-x^2}$$

所以

$$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$$